Fortran中Verlet算法的错误顺序

我试图用Fortran中的Verlet方法（原始Verlet）来模拟谐振子。 我的研究表明误差的顺序应该是2，但我的计算表明误差的顺序是1

我在源代码中找不到我的错误。我该怎么办

编辑： 我使用的算法如下：

x(t+Δt) = 2x(t) - x(t-Δt) + Δt² F(t)/m

v(t) = {x(t+Δt) -x(t-Δt)}/2Δt

其中x（t）表示位置，v（t）表示速度，F（t）表示力。我知道这是描述的原始Verlet

根据，错误的顺序应至少为O（Δt²），但在gnuplot（下面）中绘制的程序顺序的错误没有O（Δt²）的顺序

上面的程序计算时间步长h的计算误差。

根据Verlet积分器的计算公式，我们似乎需要使用更精确的方法来设置初始值xold（即包括力的项），以获得2阶的全局误差。实际上，如果我们将

xold

修改为

program newton_verlet
implicit none
real*16, parameter :: DT   = 3.0
real*16, parameter :: M    = 1.0
real*16, parameter :: X0   = 1.0
real*16, parameter :: V0   = 0.0

real*16 x,v,xold,xnew,f,h
integer it,n

do n = 0, 20

    h = DT / 2**n

    x = X0
    v = V0
    f = -x

    ! xold = x - v * h                     !! original
    xold = x - v * h + f * h**2 / (2 * M)  !! modified

    do it = 1, 2**n

        f = -x

        xnew = 2 * x - xold + f * h * h / M

        xold = x
        x = xnew
    end do

    write(*,*) log10( h ), log10( abs(x - cos(DT)) )
end do

end program

全局错误的顺序为2（请参见下面的日志图）

---

如果力是

x

的函数，并且是势能函数的负梯度，则Verlet方法仅适用于所有声称的特性。这意味着它应该是

F（x（t））

。我很想知道

real128

（real*16）相对于双精度

real64

的需要。仅此一项就可能使代码的运行时间增加一倍以上。而且，

real*16

不符合Fortran标准。一种正式的方法是

仅使用iso_fortran_env:real128

并将实变量声明为

real128

@IanBush是的，我认为你是对的。。虽然我试图强调关键修改部分（而不更改其他部分），但我将在下面为OP添加一个链接。@MaoNishino如上所述，real*16不可移植，因此建议使用KIND机制；例如，请参见此Q/A作为起点：另外，请注意，“1.23”等表示默认实数类型（通常为32位）。我们可以指定这样一个文本的种类，如1.23_dp等（其中dp是一个种类参数）。

program newton_verlet
implicit none
real*16, parameter :: DT   = 3.0
real*16, parameter :: M    = 1.0
real*16, parameter :: X0   = 1.0
real*16, parameter :: V0   = 0.0

real*16 x,v,xold,xnew,f,h
integer it,n

do n = 0, 20

    h = DT / 2**n

    x = X0
    v = V0
    f = -x

    ! xold = x - v * h                     !! original
    xold = x - v * h + f * h**2 / (2 * M)  !! modified

    do it = 1, 2**n

        f = -x

        xnew = 2 * x - xold + f * h * h / M

        xold = x
        x = xnew
    end do

    write(*,*) log10( h ), log10( abs(x - cos(DT)) )
end do

end program