Coq 在模块类型中指定极性

Coq接受以下关于

U

的归纳定义，因为它可以看出

U

在

M.T U->U

中的出现是严格正的

Module M.

Definition T (A : Type) : Type := unit -> A.

End M.

Module N.

Inductive U : Type :=
| c : M.T U -> U.

End N.

另一方面，Coq不接受以下

U

的归纳定义，因为根据

M.T

的定义，它可能出现非严格正的情况

Module Type S.

Parameter T : Type -> Type.

End S.

Module N (M : S).

Fail Inductive U : Type :=
| c : M.T U -> U.

End N.

---

如何在签名

S

中指定T的参数只能出现严格的负值？从而防止U在其定义中出现任何非严格正的情况。

这种

U

类型可被视为

M.T

的最小不动点。另一种常见的编码是

Definition Mu (T : Type -> Type) := forall A, (T A -> A) -> A.
Definition U := Mu M.T.

假设

T

是一个函子（严格正性可能意味着什么？）

我们有一个构造函数和析构函数：

Definition c : M.T U -> U := fun x A f =>
   f (M.map _ _ (fun y => y _ f) x).

Definition d : U -> M.T U := fun y => y _ (fun x => M.map _ _ c x).

证明它们是相反的需要参数，所以没有直接的方法来证明。如果你不想把它公理化，你可以丰富

t

和

U

来携带参数性的证据

---

本质上，

T

是函子的上述要求是严格正性条件的语义替换/近似，这是句法上的

---

也可以使用此新插件关闭积极性检查：

---

Hmmm。。。这很有趣，但我不太确定它是否回答了我的问题。

Definition c : M.T U -> U := fun x A f =>
   f (M.map _ _ (fun y => y _ f) x).

Definition d : U -> M.T U := fun y => y _ (fun x => M.map _ _ c x).