C++ 如何有效地计算将单位立方体映射到自身的反射和旋转？

对于基于八叉树的稀疏体素八叉树渲染器，我希望能够旋转和镜像八叉树的各个节点。虽然它不是一个真正的八叉树，但由于节点被共享，并且被允许作为子树包含自己。否则，我可以简单地将转换应用到八叉树本身

在不丧失一般性的情况下，假设立方体是一个单位立方体，其一个角位于原点，即（0,0,0），另一个角位于（1,1,1）。我将立方体的角点编码为3位整数。因此，0（=0b000）表示原点处的角，1（=0b001）表示（0,0,1）处的角，7（=0b111）表示（1,1,1）处的角。唯一允许的旋转和反射是围绕立方体的中心（½，½，½）进行的，因此角点将以整数坐标结束。这意味着只有48种不同的可能转换。（第一个角点可以映射到8个可能的位置，下一个角点可以映射到3，第三个角点可以映射到2，这将固定其余角点的位置。）

我还没有决定如何对转换进行编码，不过应该可以将其编码为单个32位整数（甚至6位整数，因为只有48种可能的转换）。然后可以将转换应用为函数，将立方体的每个角映射到转换后的位置。即

int变换（int角点，int变换）{
//魔法在这里发生
返回结果；
}

此外，我还应该有一个组合变换的函数

combine

，这样

transform（corner，combine（a，b））

等于

transform（transform（corner，b），a）

由于这些函数每秒将被调用10亿次，它们应该很快。尽管transform的调用频率大约是combine的4倍。该算法是递归的，因此如果转换编码使用的是多个32位整数，则将其放入堆栈会产生额外的运行时成本

到目前为止，我已经发现这个问题可以分解为位翻转（可以通过单个异或操作完成）和位置换（我还不知道如何有效地完成）。不过，同时执行这两项操作可能更有效

我打算在C++代码中使用这个代码，它已经使用了SSE4.1内核。尽管首选不使用内部函数或仅需要SSE3的解决方案。最后，速度是最重要的。我将尝试使用来比较解决方案

---

（注意：我使用了affinetransform标记，因为没有正交变换标记，我不想创建它）。

您可以将变换存储为一个8字节的数组，该数组对立方体角点的排列进行编码。

transform

方法与数组查找一样简单。组合这两个转换可以在一个循环中完成，但这将相当缓慢。但是，SSSE3有一个内在函数，它在一条指令中实现了这一点：

因此，必要的方法可按如下方式实施：

#include <tmmintrin.h>

int transform(int corner, __m64 transformation) {
    uint8_t array[8];
    memcpy(array, &transformation, 8); // This call is optimized away by the compiler.
    return array[corner];
}

__m64 combine(T a, T b) {
    return _mm_shuffle_pi8(b, a);
}

#包括
int变换（int角点，_m64变换）{
uint8_t数组[8]；
memcpy（array，&transformation，8）；//此调用由编译器进行优化。
返回数组[角点]；
}
__m64联合收割机（T a、T b）{
return-mm-shuffle-pi8（b，a）；
}

从我的基准测试结果来看，调用转换四次，合并一次，大约需要2秒的CPU时间。这仍然有点慢，但有足够的内核，这可能是可行的

---

我还实现了一些不同的比较方法：

• 将置换打包为int32中的半字节（4位整数），并使用循环计算组合的结果。虽然使用了一半的内存，但速度要慢3-5倍
• 直接研究Milo Brandt提出的6位编码。然而，我未能正确地实现这一点
• 将允许的变换限制为仅轴对齐反射的组合。这些可以使用逐位异或快速计算。这大约快30-50%

---

我创建了一个，尽管它不支持使用SSSE3指令，所以我不得不禁用使用

\u mm\u shuffle\u pi8

的方法。您仍然可以在本地编译和运行它们。

您可以将8个新角点连接起来，得到一个24位整数。然后我可以用一个简单的bitshift+掩码实现转换，速度非常快。但是我该如何实现合并功能呢？如果您有两个转换

a

和

b

，使得

a_I

是

I

-th（were

I

只是由角点的二进制表示形式表示的自然数）角点的图像，你可以通过设置

c|i=b|a|i |}

来计算它们的组合

c

，其中

|a|i |

是由二进制字符串

a|i

表示的自然数。有一个很好的6位编码：首先将对称分解为它在坐标平面（x，y，z）上的行为（六种可能性）加上它发送角的位置（1,1,1）。根据移位索引是否以正确的循环顺序出现，将（x，y，z）的排列分解为一个符号位，然后再分解两个位来描述x的去向。（对于正方形的对称性，类似的技巧也能很好地发挥作用……我不确定如何有效地处理三个元素的排列-可能只是使用表格查找？

\uu m64

-通常你不想使用MMX。使用

\uuum128i

向量的低位8字节同样快（或更快），它可以进入XMM寄存器

\u mm\u storel\u epi64

和

\u mm\u loadl\u epi64

是

movq

存储/加载。此外，它看起来像是

transform

从向量元素中提取一个字节，然后将其扩展回零