通过归纳假设证明（Haskell）

我想证明这句话，mapf（mapgl）=mapg（mapfl） 使得f（gx）=g（fx）

我需要用基本情况和归纳情况来证明这一点。可以按基本情况和归纳情况进行证明，如下所示：

     map f (map g l) = map g (map f l)

map f (map g l) = map g (map f l)   
   Base Case:    
 L.H.S   map f.(map g []) [ ]=            
          R.H.S  map g (map f []=[]           
        map f ( map g [ ])=                    
         map g [ ] = []                  
 map f [ ] = [ ]    
   Inductive Case:     L=(x:xs)  
   Inductive Hypotheses: ∀ (f.g)
  map f (map g (xs)) =
 map g (map f (xs)))   
   L.H.S   map f (map g (x:xs))=
              map f (g (x): map g (xs))= 
(f(g (x)): map f (map g (xs))
 (f(g x)) : ((map f) . (map g)) xs=        
        map f (map g (xs)) (using the Inductive Hypotheses)              
      map g (map f (xs)))                      R.H.S

---

但我认为我的证明是错的。有什么建议吗？

OP表示这是一项作业

证明

映射f。mapg==mapg。地图f

已提供

f。g==g。f

，其中定义为

（f.g）x=f（gx）

归纳数据类型定义：

data [a] = []                 -- [] is of type [a]
         | (:) a [a]          -- if x is of type a, and xs is of type [a],
                              --    then (x:xs) is of type [a]

基本情况：

(map f . map g) [] = map f (map g [])    -- by definition of `.`
                   = map f []            -- by definition of map
                   = []                  -- by definition of map
                   = map g []            -- by definition of map
                   = map g (map f [])    -- by definition of map

无论

f

和

g

是什么。基本情况已得到证实

归纳情况：在归纳假设下，对于某个长度的列表

xs

，它是正确的，证明对于前面有一个以上元素的列表

（x:xs）

，它是正确的：

(map f . map g) (x:xs) 
             = map f ( map g (x:xs) )          -- by definition of `.`
             = map f ( g x : map g xs )        -- by definition of map
             = f ( g x ) : map f ( map g xs )  -- by definition of map
             = g ( f x ) : map f ( map g xs )  -- by the condition on f,g
             = g ( f x ) : map g ( map f xs )  -- by the Induction Hypothesis
             = map g ( f x : map f xs )        -- by definition of map
             = map g ( map f (x:xs) )          -- by definition of map

---

归纳的例子已经被证明了。

我想你把

（f（gx））：…

放在末尾你有这个

（f（gx））：（（mapf）。（mapg））xs=mapf（mapg（xs））

，但是你在右边列表的任何地方都没有

（f（gx））

元素，我认为对于所有的

x

s，你的主要假设应该是

f（gx）=g（fx）

——如果是这样，请编辑你的问题，添加缺少的

f

你的陈述是错误的。让

g=show。长度

和

f=反向

。然后

gx=g（fx）

用于所有列表

x

。让

l=[[0..9]]

。现在

mapf（mapgl）=mapf[“10”]=[“01”]

，但是

mapg（mapfl）=mapg[[9,8..0]=[“10”]

@Hani:melpomene提供了一个反例来反驳你的说法。正如chi所指出的，你的假设似乎有误。如果我们有

f。g=g。f

，然后

map（f.g）=map（g.f）

，然后，根据函子定律，

map f。mapg=mapg。映射f

（通过列表形状的归纳，您将能够得出相同的结论）。