Java 如何计算动态规划（记忆化）算法的大O

如何计算DP算法的大O。我逐渐意识到我的算法计算方法并不总是有效的。我会使用简单的技巧来提取大O是什么。例如，如果我在评估下面算法的无记忆版本（删除缓存机制），我会查看递归方法在本例中调用自身的次数3次。然后我将这个值提高到n，给出O（3^n）。对于DP，这一点都不正确，因为递归堆栈没有那么深。我的直觉告诉我，DP解的大O是O（n^3）我们如何口头解释我们是如何得出这个答案的更重要的是，什么是一种可以用来找出类似问题大O的技术。由于是DP，我确信子问题的数量很重要我们如何计算子问题的数量。

public class StairCase {
    public int getPossibleStepCombination(int n) {
        Integer[] memo = new Integer[n+1];
        return getNumOfStepCombos(n, memo);
    }

    private int getNumOfStepCombos(int n, Integer[] memo) {
        if(n < 0) return 0;
        if(n == 0) return 1;
        if(memo[n] != null) return memo[n];
        memo[n] = getNumOfStepCombos(n - 1, memo) + getNumOfStepCombos(n - 2, memo) + getNumOfStepCombos(n-3,memo);
        return memo[n];
    }
}

公共级楼梯{
公共整型getPossibleStepCombination（整型n）{
整数[]备忘录=新整数[n+1]；
返回getNumOfStepCombos（n，memo）；
}
私有int getNumOfStepCombos（int n，整数[]备注）{
如果（n<0）返回0；
如果（n==0）返回1；
如果（备注[n]！=null）返回备注[n]；
memo[n]=getNumOfStepCombos（n-1，memo）+getNumOfStepCombos（n-2，memo）+getNumOfStepCombos（n-3，memo）；
返回备忘录[n]；
}
}

第一行

3

除了比较

int

值之外什么都不做，通过索引访问数组，查看

整数

引用是否为

null

。这些都是

O（1）

，所以唯一的问题是该方法被递归调用了多少次

这个问题很复杂，所以我经常作弊。我只是用计数器看看发生了什么。（我已经为此将您的方法设置为静态，但一般来说，您应该尽可能避免静态可变状态）

因此，看起来最终计数器值由

3n+1

给出

在一个更复杂的例子中，我可能无法识别模式，因此我将前几个数字

（例如1、4、7、10、13、16）

输入到中，通常会看到一个包含模式简单公式的页面

一旦你通过这种方式作弊来找出规则，你就可以开始理解规则为什么起作用了

以下是我如何理解

3n+1

的来源。对于

n

的每个值，您只需执行以下操作

memo[n] = getNumOfStepCombos(n - 1, memo) + getNumOfStepCombos(n - 2, memo) + getNumOfStepCombos(n-3,memo);

仅一次。这是因为我们正在记录结果，并且只有在尚未计算答案的情况下才执行这一行

因此，当我们从

n==5

开始时，我们将该行精确地运行了5次；一次用于

n==5

，一次用于

n==4

，一次用于

n==3

，一次用于

n==2

，一次用于

n==1

。这就是从自身调用方法

getNumOfStepCombos

的次数

3*5==15。该方法还从自身外部调用一次（从
getPossibleStepCombination
），因此调用总数为
3n+1

因此，这是一个
O（n）
算法

如果一个算法的行不是
O（1）
这个计数器方法不能直接使用，但是你可以经常采用这种方法。
第一个
3
行除了比较
int
值之外什么都不做，通过索引访问数组，看看
整数
引用是否为
null
。这些都是
O（1）
，所以唯一的问题是该方法被递归调用了多少次

这个问题很复杂，所以我经常作弊。我只是用计数器看看发生了什么。（我已经为此将您的方法设置为静态，但一般来说，您应该尽可能避免静态可变状态）

因此，看起来最终计数器值由
3n+1
给出

在一个更复杂的例子中，我可能无法识别模式，因此我将前几个数字
（例如1、4、7、10、13、16）
输入到中，通常会看到一个包含模式简单公式的页面

一旦你通过这种方式作弊来找出规则，你就可以开始理解规则为什么起作用了

以下是我如何理解
3n+1
的来源。对于
n
的每个值，您只需执行以下操作

memo[n] = getNumOfStepCombos(n - 1, memo) + getNumOfStepCombos(n - 2, memo) + getNumOfStepCombos(n-3,memo);

仅一次。这是因为我们正在记录结果，并且只有在尚未计算答案的情况下才执行这一行

因此，当我们从
n==5
开始时，我们将该行精确地运行了5次；一次用于
n==5
，一次用于
n==4
，一次用于
n==3
，一次用于
n==2
，一次用于
n==1
。这就是从自身调用方法
getNumOfStepCombos
的次数
3*5==15。该方法还从自身外部调用一次（从
getPossibleStepCombination
），因此调用总数为
3n+1

因此，这是一个
O（n）
算法

如果一个算法的行不是
O（1）
，这个计数器方法不能直接使用，但你可以经常调整方法。
保罗的答案在技术上没有错，但有点误导。我们应该通过函数如何响应输入大小的变化来计算大O符号。Paul对O（n）的回答使复杂性看起来是线性时间，而实际上它与表示n的位数成指数关系。例如，n=10有30次计算，m=2位。n=100有300次计算，m=3位。n=1000有约3000次计算，m=4位

我相信函数的复杂度是O（2^m），其中m是
memo[n] = getNumOfStepCombos(n - 1, memo) + getNumOfStepCombos(n - 2, memo) + getNumOfStepCombos(n-3,memo);