Java 理解硬币变化递归

我试图用递归来解决硬币兑换问题，遇到了下面的代码

问题：给定一些面额的无限硬币，计算它们形成给定数量硬币的方式数

输入：

int[] coins = {1, 2}; 
int amount = 5;
int ways = change(amount, coins, coins.length - 1);
// expected ways = 3 --> 11111, 1112, 122

代码：

我理解代码本身，也理解基本情况，但我无法理解它是如何封装递归/解决方案的

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如果我在解factorialn，我可以说factorialn=n*factorialn-1，所以我可以清楚地看到递归。在换硬币的例子中，我无法推断出类似的关系。有人能帮我吗？

递归行在这里：ways+=changeamount-coins[index]，coins，index

我对代码做了一些注释来解释它

//金额是我们希望所有硬币加起来的总价值 //硬币上有我们可以加起来得到的价值 //索引是我们现在讨论的问题——我们将在稍后对此进行详细解释 整数兑换整数金额，整数[]硬币，整数索引{ //我们走得太低：最后一枚硬币太大，把我们推到了底片上 如果金额<0，则返回0； //找零！我们找到了用这些硬币找零的新方法 如果金额==0，则返回1； //数一数我们可以做出改变的方法 int-ways=0； //递归从这里开始：我们从索引开始，索引是 //我们可以得到硬币。在这种情况下，我们将一直走到世界的尽头 //数组到2硬币。我们将重复从数量中减去2，直到 //我们达到了0，这意味着我们只需要2枚硬币就可以达到这个数量，或者 //我们不能再往前走了。 //如果我们无法进一步，我们将从递归返回一级， //将指数减少1：这意味着我们现在正在尝试1硬币。 //这个过程会重复，尽可能多地使用2枚硬币进行更改 //当我们陷入困境或到达底部时，回到1硬币 //递归。 当金额>0&&index>=0时{ //反复尝试使用相同的硬币，当函数返回时， //无论是成功还是失败。。。 方式+=变更金额-硬币[指数]，硬币，指数； //…移动到下一个硬币并重复此过程。 指数=指数-1； } //我们能够用这些硬币进行精确兑换的总次数 返回方式； } 更明确地说：

desired value: 5    available coins: 1, 2
value = 5
coin = 2
5 - 2 = 3

. value = 3
. coin = 2
. 3 - 2 = 1

. . value = 1
. . coin = 2
. . 1 - 2 = -1 | fail
. . coin = 1
. . 1 - 1 = 0 | success
. . no more coins to try

. value = 3
. coin = 1
. 3 - 1 = 2

. . value = 2
. . coin = 1
. . 2 - 1 = 1

. . . value = 1
. . . coin = 1
. . . 1 - 1 = 0 | success
. . . no more coins to try

. . no more coins to try

. no more coins to try

value = 5
coin = 1
5 - 1 = 4

. value = 4
[...and so on]

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这里的递归行是：ways+=changeamount-coins[index]，coins，index

我对代码做了一些注释来解释它

//金额是我们希望所有硬币加起来的总价值 //硬币上有我们可以加起来得到的价值 //索引是我们现在讨论的问题——我们将在稍后对此进行详细解释 整数兑换整数金额，整数[]硬币，整数索引{ //我们走得太低：最后一枚硬币太大，把我们推到了底片上 如果金额<0，则返回0； //找零！我们找到了用这些硬币找零的新方法 如果金额==0，则返回1； //数一数我们可以做出改变的方法 int-ways=0； //递归从这里开始：我们从索引开始，索引是 //我们可以得到硬币。在这种情况下，我们将一直走到世界的尽头 //数组到2硬币。我们将重复从数量中减去2，直到 //我们达到了0，这意味着我们只需要2枚硬币就可以达到这个数量，或者 //我们不能再往前走了。 //如果我们无法进一步，我们将从递归返回一级， //将指数减少1：这意味着我们现在正在尝试1硬币。 //这个过程会重复，尽可能多地使用2枚硬币进行更改 //当我们陷入困境或到达底部时，回到1硬币 //递归。 当金额>0&&index>=0时{ //反复尝试使用相同的硬币，当函数返回时， //无论是成功还是失败。。。 方式+=变更金额-硬币[指数]，硬币，指数； //…移动到下一个硬币并重复此过程。 指数=指数-1； } //我们能够用这些硬币进行精确兑换的总次数 返回方式； } 更明确地说：

desired value: 5    available coins: 1, 2
value = 5
coin = 2
5 - 2 = 3

. value = 3
. coin = 2
. 3 - 2 = 1

. . value = 1
. . coin = 2
. . 1 - 2 = -1 | fail
. . coin = 1
. . 1 - 1 = 0 | success
. . no more coins to try

. value = 3
. coin = 1
. 3 - 1 = 2

. . value = 2
. . coin = 1
. . 2 - 1 = 1

. . . value = 1
. . . coin = 1
. . . 1 - 1 = 0 | success
. . . no more coins to try

. . no more coins to try

. no more coins to try

value = 5
coin = 1
5 - 1 = 4

. value = 4
[...and so on]

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计算制造50个货币单位的方法的一部分是说，如果我使用10个单位的硬币，那么剩下的40个单位我就不得不制造了：这是多少种方法？。这就是递归关系。这就是我想要得到的！你能详细说明一下吗？如果我想从{2，1}得到5，我需要在从{2，1}得到3的解中添加什么？基本上，在阶乘递归中，我必须将n乘以上一个解。这里对应的概念是什么？要从2和1生成5，你可以从2开始，然后有很多方法生成剩余的3；或者你可以从1开始，然后有很多方法来制作剩下的4。这两个选项组合在一起

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n给你一些制作的方法。谢谢！仍然不是100%清楚，但我会花一些时间在上面。计算制作方法的数量，比如说50个货币单位，部分是说如果我使用10个单位的硬币，那么剩下的40个单位我就不得不制作了：这是多少种方式？。这就是递归关系。这就是我想要得到的！你能详细说明一下吗？如果我想从{2，1}得到5，我需要在从{2，1}得到3的解中添加什么？基本上，在阶乘递归中，我必须将n乘以上一个解。这里对应的概念是什么？要从2和1生成5，你可以从2开始，然后有很多方法生成剩余的3；或者你可以从1开始，然后有很多方法来制作剩下的4。这两个选项的组合为您提供了许多制作5的方法。谢谢！仍然不是100%清楚，但我会花一些时间在上面。我感谢你花时间回答和写评论，我完全理解代码，但试着理解递归，即如何从以前的解决方案中得到当前解决方案。@用最简单的方法：拿一张纸和一支笔，并绘制代码的路径：每次返回时向前和向后。当你回到起点时，它会sense@Ufder我添加了一个直观的解释。@Ufder选择最大的硬币，并尽可能多地从总金额中减去它。如果遇到负数，请撤消最后一次减法，选择下一个最小的硬币，然后继续尝试。如果你达到0，这算成功-记录它，然后撤销减法，直到你得到你使用的前一枚硬币。将其更改为当前硬币，然后重复。这样做，直到你测试了每一枚硬币。请注意，为了便于解释，在本例中，硬币是按大小排序的，但你不需要对它们进行排序以使算法发挥作用。@NickReed Dude，所有那些youtube视频中，他们说“选择一枚硬币vs丢弃一枚硬币”，我无法理解，但一旦我看到你的评论，我马上就明白了。非常感谢。感谢您花时间回答和撰写注释，我完全理解代码，但我试图理解递归，即如何从以前的解决方案中获得当前解决方案。@U使用最简单的方法：用纸和笔，绘制代码路径：每次返回时向前和向后。当你回到起点时，它会sense@Ufder我添加了一个直观的解释。@Ufder选择最大的硬币，并尽可能多地从总金额中减去它。如果遇到负数，请撤消最后一次减法，选择下一个最小的硬币，然后继续尝试。如果你达到0，这算成功-记录它，然后撤销减法，直到你得到你使用的前一枚硬币。将其更改为当前硬币，然后重复。这样做，直到你测试了每一枚硬币。请注意，为了便于解释，在本例中，硬币是按大小排序的，但你不需要对它们进行排序以使算法发挥作用。@NickReed Dude，所有那些youtube视频中，他们说“选择一枚硬币vs丢弃一枚硬币”，我无法理解，但一旦我看到你的评论，我马上就明白了。非常感谢。