Linear programming 测试覆盖的整数线性规划公式？

测试覆盖问题可定义如下：

假设我们有一组

n

疾病和一组

m

测试可以检查症状。我们还得到以下信息：

• A

  n

  x

  n

  矩阵

  A

  其中

  A[i][j]

  是一个二进制值，表示对患有

  i

  th疾病的患者进行

  j

  th测试的结果（1表示阳性结果，0表示阴性）
• 运行测试的成本

  j

  ，

  c_j

  ；那
• 任何病人只会有一种疾病

这项任务是找到一组测试，能够以最低的成本唯一地识别每种

n

疾病

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这个问题可以表述为一个整数线性规划，其中我们希望最小化目标函数

\sum{j=1}^{m}c\u j x\u j

，其中

x\u j

=1，如果我们选择在我们的集合中包含test

j

，否则为0

我的问题是:

这个问题的线性约束集是什么

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顺便说一句，我认为这个问题是NP难的（通常是整数线性规划）。

如果我是正确的，你只需要确保

\sum_j x_j.A_ij >= 1 forall i

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假设

T

是删除所有

j

的

j

第列

A

后得到的矩阵，从而

x_j

=0

然后选择一组能够唯一区分任何两种疾病的测试就相当于确保

T

的每一行都是唯一的

观察两行

k

和

l

是相同的当且仅当所有

j

的

（T[k][j]XOR T[l][j]）=0

因此，我们想要的约束是

\sum{j=1}{m}x_j（A[k][j]XOR A[l][j]）>=1

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对于所有

1，但如果任何x_j=0，则总和为0。所以这些限制迫使我们选择每一个测试，当然这不可能是正确的。。。除非我误解了你的答案。不是真的，如果A
x\j.A\ij
是1，那么总和至少是1，这就是你想要的。啊，现在我明白你的意思了。但是，这仍然是不正确的。考虑这样的情况，我们有两种疾病，D1和D2，以及两种测试，T1和T2，使得D1和D2均为T1阳性，T2为阴性。那么选择x_1=1和x_2=0满足了你的约束条件，但我们无法区分这两种疾病