Logic 命题逻辑恒等式

如何通过身份法则来证明：

p ↔ q Given (p → q) & (q → p) ↔ Elimination (~p ∨ q) & (~q ∨ p) Material implication ((~p ∨ q) & ~q) ∨ (((~p ∨ q) & p)) Distributive ~p & ~q ∨ q & ~q ∨ ~p & p ∨ q & p Distributive ~p & ~q ∨ F ∨ F ∨ q & p Complement ~p & ~q ∨ q & p Identity ~(p ∨ q) ∨ p & q De Morgan's law (p ∨ q) → (p & q) Material implication P↔ q给定 （p→ q） &（q）→ （p）↔ 消除 （~p∨ q） &（~q）∨ p） 实质含义 （（~p）∨ q） &~q）∨ （（~p）∨ q） 分配的 ~p&~q∨ q&~q∨ ~宝洁∨ q&p分布 ~p&~q∨ F∨ F∨ q&p补码 ~p&~q∨ q&p身份 ~（p∨ q）∨ 摩根定律 （p∨ q）→ （p&q）重大影响 自然演绎：

p ↔ q Given (p → q) & (q → p) ↔ Elimination (~p ∨ q) & (~q ∨ p) Material implication ((~p ∨ q) & ~q) ∨ (((~p ∨ q) & p)) Distributive ~p & ~q ∨ q & ~q ∨ ~p & p ∨ q & p Distributive ~p & ~q ∨ F ∨ F ∨ q & p Complement ~p & ~q ∨ q & p Identity ~(p ∨ q) ∨ p & q De Morgan's law (p ∨ q) → (p & q) Material implication 要通过自然推理证明身份，你必须从两个方向进行证明。也就是说，你必须证明：

• p↔ q包含（p∨ q）→ （p&q），以及
• （p∨ q）→ （p&q）包含p↔ q

{1} 1. P↔ q Prem。 {1} 2. （p→ q） &（q）→ p） 一,↔E {1} 3. P→ 问题2&E {1} 4. Q→ p 2&E {5} 5. P∨ q Assum。 {6} 6. p Assum。（第1篇） {1,6} 7. q 3,6 MP {1,6} 8. p&q 6、7和I（第一集中） {9} 9. q Assum。（第二篇） {1,9} 10. p 4,9 MP {1,9} 11. p&q 9、10和I（第二集中） {1,5} 12. p&q 5,6,8,9,11∨E {1} 14. （p∨ q）→ （p&q）5,12 CP 以下是相反方向的证据：

{1} 1. (p ∨ q) → (p & q) Prem. {2} 2. p Assum. {2} 3. p ∨ q 2 ∨I {1,2} 4. p & q 1,3 MP {1,2} 5. q 4 &E {1} 6. p → q 2,5 CP {7} 7. q Assum. {7} 8. p ∨ q 7 ∨I {1,7} 9. p & q 1,8 MP {1,7} 10. p 9 &E {1} 11. q → p 7,10 CP {1} 12. (p → q) & (q → p) 6,12 &I {1} 13. p ↔ q 12 ↔I {1} 1. （p∨ q）→ （p&q）Prem。 {2} 2. p Assum。 {2} 3. P∨ 问题2∨我 {1,2} 4. p&q 1,3 MP {1,2} 5. 问题4&E {1} 6. P→ q2,5cp {7} 7. q Assum。 {7} 8. P∨ 问题7∨我 {1,7} 9. p&q 1,8 MP {1,7} 10. p 9&E {1} 11. Q→ 第7,10页 {1} 12. （p→ q） &（q）→ p） 6,12&I {1} 13. P↔ 问题12↔我 缩写：

p ↔ q Given (p → q) & (q → p) ↔ Elimination (~p ∨ q) & (~q ∨ p) Material implication ((~p ∨ q) & ~q) ∨ (((~p ∨ q) & p)) Distributive ~p & ~q ∨ q & ~q ∨ ~p & p ∨ q & p Distributive ~p & ~q ∨ F ∨ F ∨ q & p Complement ~p & ~q ∨ q & p Identity ~(p ∨ q) ∨ p & q De Morgan's law (p ∨ q) → (p & q) Material implication

• &I=连词介绍
• &E=连词消除
• ∨I=析取介绍
• ∨E=析取消除
• ↔I=双箭头介绍
• ↔E=双箭头消除
• MP=波内恩斯方式
• CP=条件证明(→ （导言）

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预科预科、VI、MP、EE、CP是什么意思？我不熟悉那些简写的缩写词。我编辑以显示缩写词。你应该是∨E、 所以我做了更正。@DavidConnor。我还添加了身份证明。你还没有解释“Prem”和“Assum”。大概是“前提”和“假设”吧？同样，我假设右边的“1，3MP”意味着“从1。到3，按照Ponens的说法”，但是左边的“{1，2}”意味着什么？是的，“Prem.”和“Assum.”意味着前提和假设。左边的数字显示了每行所依赖的内容。例如，第二个证明的第4行上的{1,2}表明该行同时依赖于前提和假设。这两种证明都只依赖于{1}，因为有一些规则允许您进行假设。在这些证据中，∨我投票结束这个问题，因为它是关于逻辑的，而不是直接关于编程或编码的。