matlab符号与实数的集成给出了一个复杂的答案

我希望在Matlab中得到以下积分的解析（封闭形式）解。然而，Matlab用实部和虚部给了我一个答案。我如何让它产生一个只有“真实”部分的答案。这是完整的代码

close all;
clear all;
clc;

syms t real;
syms thetak real;
syms sik real;
syms tbar real;
syms sjk real;

expr = exp(-thetak*((t-sik)^2 + (t-sjk)^2));
Bijk_raw = int(expr,t,0,1);
Bijk = simplify(collect(expand(Bijk_raw)));
fprintf('Bijk is as follows...\n');
pretty(Bijk);

你所得到的（直到一些常数）形式

这包括两个术语的形式

- 1i * erf(1i * x)

这也称为假想误差函数

erfi（）

。原来

erfi(x) = - 1i * erf(1i * x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(t.^2),0,x)

因此，对于

x

的实数，表达式实际上是实数，如果

thetak>=0

和

sik

和

sjk

是实数，则情况就是这样

您开始使用的积分可以简化为

exp（-t^2）

（使用一些仿射变换）的积分，该积分以没有“闭合形式”而闻名，但它通常被写成

erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(-t.^2),0,x)

我强烈建议您阅读维基百科网站上的文章

此外，我建议使用比MATLAB符号工具箱更为初学者友好的工具。我想推荐一个免费的开源CAS

（由于此处缺少乳胶，所以全部用MATLAB表示法编写。）

您得到的是（在某些常数因子下）形式

这包括两个术语的形式

- 1i * erf(1i * x)

这也称为假想误差函数

erfi（）

。原来

erfi(x) = - 1i * erf(1i * x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(t.^2),0,x)

因此，对于

x

的实数，表达式实际上是实数，如果

thetak>=0

和

sik

和

sjk

是实数，则情况就是这样

您开始使用的积分可以简化为

exp（-t^2）

（使用一些仿射变换）的积分，该积分以没有“闭合形式”而闻名，但它通常被写成

erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral(@(t)exp(-t.^2),0,x)

我强烈建议您阅读维基百科网站上的文章

此外，我建议使用比MATLAB符号工具箱更为初学者友好的工具。我想推荐一个免费的开源CAS

（由于此处缺少乳胶，因此全部用MATLAB符号书写。）

您获得的答案（如果您有类似于我的MATLAB版本），我在此处重现：

  /               /                     2 \ 
  |  1/2   1/2    |   thetak (sik - sjk)  | 
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2          1/2                 \ 
 |    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i) | 
 | erf| --------------------------------- | i - 
 \    \                 2                 / 

    /  1/2          1/2                       \   \ \ 
    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i - 2 i) |   | | 
 erf| --------------------------------------- | i | | / 
    \                    2                    /   / / 
             1/2 
 (4 (-thetak)   )

给人的印象是到处都是复数i

但事实上，这是一个错误的印象，因为（-thetak）^（1/2）

事实上，取一个负数的平方根将生成一个“i”，而这个“i”反过来将“杀死”与之“接触”的其他“i”。由于（-thetak）^（1/2）可以在以下位置找到，因此该取消将在不同的位置发生：

1） 在erf表达式和

2） 作为公分母（最后一行）

验证规则i^2=-1适用于任何地方，不会给任何“i”留下生存的机会

最后给出（我将Tak=s^2设置为s>0）：

编辑：您可能已经跳过了集成。其思想是将$exp（-thetak*（（t-sik）^2+（t-sjk）^2））$中的二次型转换为所谓的“标准形式”，在您的例子中是：$exp（-thetak*（（t-A）^2+B））/C；$其中，$A、B、C$可以表示为sik和sjk的函数（例如，$A=（sik+sjk）/2$）；这样，设置$T=T-A$，您将回到经典的高斯积分公式：

$$\frac{2}/{\sqrt{\pi}\int\u a^b exp（-t^2}dt）（erf（b）-erf（a））$$

您得到的答案（如果您有一个类似于我的Matlab版本）我在这里重现：

  /               /                     2 \ 
  |  1/2   1/2    |   thetak (sik - sjk)  | 
- | 2    pi    exp| - ------------------- | 
  \               \            2          / 
 /    /  1/2          1/2                 \ 
 |    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i) | 
 | erf| --------------------------------- | i - 
 \    \                 2                 / 

    /  1/2          1/2                       \   \ \ 
    | 2    (-thetak)    (sik i + sjk i - 2 i) |   | | 
 erf| --------------------------------------- | i | | / 
    \                    2                    /   / / 
             1/2 
 (4 (-thetak)   )

给人的印象是到处都是复数i

但事实上，这是一个错误的印象，因为（-thetak）^（1/2）

事实上，取一个负数的平方根将生成一个“i”，而这个“i”反过来将“杀死”与之“接触”的其他“i”。由于（-thetak）^（1/2）可以在以下位置找到，因此该取消将在不同的位置发生：

1） 在erf表达式和

2） 作为公分母（最后一行）

验证规则i^2=-1适用于任何地方，不会给任何“i”留下生存的机会

最后给出（我将Tak=s^2设置为s>0）：

编辑：您可能已经跳过了集成。其思想是将$exp（-thetak*（（t-sik）^2+（t-sjk）^2））$中的二次型转换为所谓的“标准形式”，在您的例子中是：$exp（-thetak*（（t-A）^2+B））/C；$其中，$A、B、C$可以表示为sik和sjk的函数（例如，$A=（sik+sjk）/2$）；这样，设置$T=T-A$，您将回到经典的高斯积分公式：

---

$$\frac{2}/{\sqrt{\pi}\int\u a^b exp（-t^2}dt）（erf（b）-erf（a））$

PS：我需要一个只包含实部的封闭形式的分析表达式。虚部确实是零（但函数“real”不能只给出实部）。小注释：“simplify（collect（expand（Bijk_raw））”应该是简单的“simplify（expand（Bijk_raw））”（不需要收集任何东西）。实际上，我试过使用和不使用collect。使用collect给出了一个更简洁的答案。PS：我想要一个封闭形式的分析表达式，它只包含真实的部分。虚部确实是零（但函数“real”不能只给出实部）。小注释：“simplify（collect（expand（Bijk_raw））”应该是简单的“simplify（expand（Bijk_raw））”（不需要收集任何东西）。实际上，我试过使用和不使用collect。使用collect可以给出更简洁的答案。感谢您提供的信息丰富的答案。错误函数是OK（我认为它是为了我的目的而关闭的）。谢谢你的信息性回答。错误函数是OK（我认为它是为了我的目的而关闭的）。谢谢。根据你的答案，我只需要添加一行额外的代码，让Matlab显式生成一个没有虚部的答案。我添加了“假设（thetak>0）”。我没有想到约束变量域的这种可能性。关于你问题的数学方面，我有一个相当重要的补充意见；我将对它作另一个评论（如下）我有一个