用Matlab求解时滞微分方程

我试图用Matlab中的ode45解决DDE问题。我的问题是关于我解这个方程的方法。我不知道我是对还是错，我应该用dde23来代替。 我有一个方程式：

xdot(t)=Ax+BU(t-td)+E(t) & U(t-td)=Kx(t-td) & K=constant

通常，当我的方程没有延迟时，我用ode45解这个方程。现在在我的等式上有延迟，我再次使用ode45来得到结果。我得到了每一步U（t-td）的确切数量，我替换了它的数量并解出了方程

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我的解决方案正确吗？还是应该使用dde23？

这里有两个问题：

ode45

是一个具有自适应步长的解算器。这意味着您的采样步骤不一定等同于实际的集成步骤。相反，积分器根据需要将采样步骤拆分为多个积分步骤，以达到所需的精度（有关更多信息，请参阅科学计算）。 因此，您可能无法在集成的每个步骤中提供正确的延迟值

U

，即使您认为这样做了

但是，如果采样步骤足够小，则每个采样步骤确实有一个时间步骤。这样做的原因是，通过使时间步长小于所需的时间步长（从而浪费计算时间），可以有效地禁用自适应积分

高阶Runge–Kutta方法，如

ode45

不仅在每个积分步骤中使用导数的值，而且在两个积分步骤之间对其进行评估（不，它们不能为这两个时间步骤之间的导数提供可用的解）

例如，假设延迟和积分步长为td=16。要使积分步骤从t=32变为t=48，您需要计算

U

，而不仅仅是在t = 32−16 = 16和t = 48−16 = 32，但也在t = 40−16 = 24现在，你可能会说：好的，让我们进行积分，这样我们在所有这些时间点都有一个积分步骤。但是对于这些集成步骤，您需要中间的步骤，例如，如果要从t＝16到t＝24，则需要在t= 0、t＝4、t＝8时评估<代码> u>代码>。你会得到一个由越来越小的时间步组成的无穷无尽的级联

由于问题2，除了一步积分器之外，不可能提供过去的精确状态——在您的情况下，使用一步积分器可能不是一个好主意。因此，如果要将DDE与多步积分器集成，则不可避免地要使用某种插值来获取过去的值<代码>dde23使用良好的插值以复杂的方式执行此操作

---

如果仅在积分步骤中提供

U

，则实际上执行的是a，这是最差的插值，因此需要使用非常小的积分步骤。如果您真的愿意，您可以这样做，

dde23

及其更复杂的分段三次Hermite插值可以使用更大的时间步长并自适应地进行积分，因此速度会更快。而且，你不太可能会犯错误。最后，

dde23

可以处理非常小的延迟（小于集成步骤），如果您正处于这种情况。

这里有两个问题：

ode45

是一个具有自适应步长的解算器。这意味着您的采样步骤不一定等同于实际的集成步骤。相反，积分器根据需要将采样步骤拆分为多个积分步骤，以达到所需的精度（有关更多信息，请参阅科学计算）。 因此，您可能无法在集成的每个步骤中提供正确的延迟值

U

，即使您认为这样做了

但是，如果采样步骤足够小，则每个采样步骤确实有一个时间步骤。这样做的原因是，通过使时间步长小于所需的时间步长（从而浪费计算时间），可以有效地禁用自适应积分

高阶Runge–Kutta方法，如

ode45

不仅在每个积分步骤中使用导数的值，而且在两个积分步骤之间对其进行评估（不，它们不能为这两个时间步骤之间的导数提供可用的解）

例如，假设延迟和积分步长为td=16。要使积分步骤从t=32变为t=48，您需要计算

U

，而不仅仅是在t = 32−16 = 16和t = 48−16 = 32，但也在t = 40−16 = 24现在，你可能会说：好的，让我们进行积分，这样我们在所有这些时间点都有一个积分步骤。但是对于这些集成步骤，您需要中间的步骤，例如，如果要从t＝16到t＝24，则需要在t= 0、t＝4、t＝8时评估<代码> u>代码>。你会得到一个由越来越小的时间步组成的无穷无尽的级联

由于问题2，除了一步积分器之外，不可能提供过去的精确状态——在您的情况下，使用一步积分器可能不是一个好主意。因此，如果要将DDE与多步积分器集成，则不可避免地要使用某种插值来获取过去的值<代码>dde23使用良好的插值以复杂的方式执行此操作

如果仅在积分步骤中提供

U

，则实际上执行的是a，这是最差的插值，因此需要使用非常小的积分步骤。如果您真的愿意，您可以这样做，

dde23

及其更复杂的分段三次Hermite插值可以使用更大的时间步长并自适应地进行积分，因此速度会更快。而且，你不太可能会犯错误。最后，

dde23

可以处理非常小的延迟（比集成步骤小），如果您喜欢这种类型的话