Python 确定两个已知点之间具有给定弧长的抛物线

设（0,0）和（Xo，Yo）是笛卡尔平面上的两点。我们想要确定抛物线，Y=AX^2+BX+C，它从这两点经过，给定的弧长等于S。显然，S>sqrt（Xo^2+Yo^2）。由于曲线必须从（0,0）经过，因此它应该是C=0。因此，曲线方程简化为：Y=AX^2+BX。我如何确定{A，B}知道{Xo，Yo，S}？有两种解决方案，我想要一个>0的

我有一个解析解（复数），对于给定的一组{a，B，Xo，Yo}给出S，虽然这里的问题是相反的。。。我可以通过数值求解一个复杂的方程组。。。但也许有一个数字例程可以做到这一点

有没有有用的Python库？其他想法

非常感谢：-）

注意，二次

a*x0^2+b*x0

的弧长（线积分）由

sqrt（1+（2ax+b）^2）

从

x=0

到

x=x0

的积分给出。求解积分时，积分值为

0.5*（I（u）-I（l））/a

，其中

u=2ax0+b

<代码>l=b；和

I（t）=0.5*（t*sqrt（1+t^2）+log（t+sqrt（1+t^2））

，是

sqrt（1+t^2）的积分

由于
y0=a*x0^2+b*x0
，
b=y0/x0-a*x0
。在
u
和
l
中替换
b
的值，
u=y0/x0+a*x0
，
l=y0/x0-a*x0
。在线积分（弧长）的解中替换
u
和
l
，我们得到弧长作为
a
的函数：

s(a) = 0.5 * (I(y0/x0 + a*x0) - I(y0/x0 - a*x0)) / a

现在我们有了弧长作为
a
的函数，我们只需要找到
a
的值，其中
s（a）=s
。这就是我最喜欢的根查找算法，the，再次发挥作用的地方

牛顿-拉斐逊求根法的工作算法如下：

对于要获得根的函数
f（x）
，如果
x（i）
是根的
i
猜测

x(i+1) = x(i) - f(x(i)) / f'(x(i))

其中
f'（x）
是
f（x）
的导数。这个过程一直持续到两个连续猜测之间的差值非常小为止

在我们的例子中，
f（a）=s（a）-s
和
f'（a）=s'（a）
。通过简单应用链式规则和商规则

s'(a) = 0.5 * (a*x0 * (I'(u) + I'(l)) + I(l) - I(u)) / (a^2)

其中
I'（t）=sqrt（1+t^2）

剩下的唯一问题是计算一个好的初始猜测。由于函数的性质，该函数是牛顿-拉斐逊法的最佳候选函数，
y0/x0
的初始猜测在大约5-6次迭代中收敛到
1e-10
的公差/ε

一旦找到
a
的值，
b
就是
y0/x0-a*x0

将其转化为代码：

def find_coeff(x0, y0, s0):
    def dI(t):
        return sqrt(1 + t*t)

    def I(t):
        rt = sqrt(1 + t*t)
        return 0.5 * (t * rt + log(t + rt))

    def s(a):
        u = y0/x0 + a*x0
        l = y0/x0 - a*x0
        return 0.5 * (I(u) - I(l)) / a

    def ds(a):
        u = y0/x0 + a*x0
        l = y0/x0 - a*x0
        return 0.5 * (a*x0 * (dI(u) + dI(l)) + I(l) - I(u)) / (a*a)

    N = 1000
    EPSILON = 1e-10
    guess = y0 / x0

    for i in range(N):
        dguess = (s(guess) - s0) / ds(guess)
        guess -= dguess
        if abs(dguess) <= EPSILON:
            print("Break:", abs((s(guess) - s0)))
            break
        print(i+1, ":", guess)

    a = guess
    b = y0/x0 - a*x0

    print(a, b, s(a))

def find_coeff（x0，y0，s0）：
def dI（t）：
返回sqrt（1+t*t）
定义I（t）：
rt=sqrt（1+t*t）
返回0.5*（t*rt+log（t+rt））
def s（a）：
u=y0/x0+a*x0
l=y0/x0-a*x0
返回0.5*（I（u）-I（l））/a
def ds（a）：
u=y0/x0+a*x0
l=y0/x0-a*x0
返回0.5*（a*x0*（dI（u）+dI（l））+I（l）-I（u））/（a*a）
N=1000
ε=1e-10
猜测=y0/x0
对于范围（N）中的i：
dguess=（s（猜测）-s0）/ds（猜测）
猜测-=dguess
如果abs（dguess）@ReblochonMasque不一定。任何通过原点的多项式都有
x-0
或简单地
x
作为根。因此它不能有一个独立于
x
的常数项。通过
S
弧长，我假设你的意思是
0，0
和
x0，y0
形成的弧长是
S
？对我来说，这似乎更像是一个数学问题，而不是编程问题。试着先在纸上算出解析解？你读过吗？在那一节的命名法中，你知道s和p，并想计算f，作为第一步。那里的方程对我来说似乎是非常超越的，所以我不希望得到一个精确的公式。不同的numeric方法可能值得尝试。如果你有
（A，B，x0，y0）->S0
，并且不容易反转，这是一个简单的2D最小化问题，你想最小化“abs（S-S0）”，所以你可以尝试一个简单的最小二乘算法……实际上它是1D，因为你有它必须通过的点的限制