Python 超高斯拟合

我得研究一下激光束的轮廓。为此，我需要找到一条适合我的数据的超高斯曲线。 超高斯方程：

I * exp(- 2 * ((x - x0) /sigma)^P)

I * exp(-(x - x0)^2 / (2 * sigma^2))

其中

p

考虑了平顶激光束曲线特性

我开始用Python对曲线进行简单的高斯拟合。拟合返回一条高斯曲线，其中

I

、

x0

和

sigma

的值得到优化。（我使用了函数曲线拟合） 高斯曲线方程：

I * exp(- 2 * ((x - x0) /sigma)^P)

I * exp(-(x - x0)^2 / (2 * sigma^2))

现在，我想向前迈出一步<我想做超高斯曲线拟合< <强>，因为我需要考虑光束的平顶特性。因此，我需要一个拟合来优化P参数

有人知道如何使用Python进行超高斯曲线拟合吗

我知道有一种方法可以用wolfram mathematica进行超高斯拟合，它不是开源的。我没有。因此，我还想知道是否有人知道一个开源软件，借助它可以进行超高斯曲线拟合或执行wolfram mathematica

---

谢谢

好吧，您需要编写一个函数来计算参数化的超高斯函数，并使用它来建模数据，比如说使用

scipy.optimize.curve\u fit

。作为LMFIT（）的主要作者，它提供了拟合和曲线拟合的高级接口，我建议尝试使用该库。使用这种方法，您的超高斯模型函数和用于拟合数据的模型函数可能如下所示：

import numpy as np  
from lmfit import Model   

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):
    """super-Gaussian distribution
    super_gaussian(x, amplitude, center, sigma, expon) =
        (amplitude/(sqrt(2*pi)*sigma)) * exp(-abs(x-center)**expon / (2*sigma**expon))
    """
    sigma = max(1.e-15, sigma)
    return ((amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))
            * np.exp(-abs(x-center)**expon / 2*sigma**expon))

# generate some test data
x = np.linspace(0, 10, 101)
y = super_gaussian(x, amplitude=7.1, center=4.5, sigma=2.5, expon=1.5)
y += np.random.normal(size=len(x), scale=0.015)

# make Model from the super_gaussian function
model = Model(super_gaussian)

# build a set of Parameters to be adjusted in fit, named from the arguments 
# of the model function (super_gaussian), and providing initial values
params = model.make_params(amplitude=1, center=5, sigma=2., expon=2)

# you can place min/max bounds on parameters
params['amplitude'].min = 0
params['sigma'].min = 0
params['expon'].min = 0
params['expon'].max = 100

# note: if you wanted to make this strictly Gaussian, you could set 
# expon=2  and prevent it from varying in the fit:
### params['expon'].value = 2.0
### params['expon'].vary = False

# now do the fit
result = model.fit(y, params, x=x)

# print out the fit statistics, best-fit parameter values and uncertainties
print(result.fit_report())

# plot results
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, label='data')
plt.plot(x, result.best_fit, label='fit')
plt.legend()
plt.show()

from scipy import optimize

opt, _ = optimize.curve_fit(super_gaussian, x, y)
vals = super_gaussian(x, *opt)

这将打印一份报告，如

[[Model]]
    Model(super_gaussian)
[[Fit Statistics]]
    # fitting method   = leastsq
    # function evals   = 53
    # data points      = 101
    # variables        = 4
    chi-square         = 0.02110713
    reduced chi-square = 2.1760e-04
    Akaike info crit   = -847.799755
    Bayesian info crit = -837.339273
[[Variables]]
    amplitude:  6.96892162 +/- 0.09939812 (1.43%) (init = 1)
    center:     4.50181661 +/- 0.00217719 (0.05%) (init = 5)
    sigma:      2.48339218 +/- 0.02134446 (0.86%) (init = 2)
    expon:      3.25148164 +/- 0.08379431 (2.58%) (init = 2)
[[Correlations]] (unreported correlations are < 0.100)
    C(amplitude, sigma) =  0.939
    C(sigma, expon)     = -0.774
    C(amplitude, expon) = -0.745

[[Model]]
模型（超高斯）
[[Fit统计数据]]
#拟合方法=最小二乘法
#函数evals=53
#数据点=101
#变量=4
卡方检验=0.02110713
缩减卡方检验=2.1760e-04
Akaike信息临界值=-847.799755
贝叶斯信息临界值=-837.339273
[[变量]]
振幅：6.96892162+/-0.09939812（1.43%）（初始值=1）
中心：4.50181661+/-0.00217719（0.05%）（初始值=5）
西格玛：2.48339218+/-0.02134446（0.86%）（初始值=2）
指数：3.25148164+/-0.08379431（2.58%）（初始值=2）
[[相关性]]（未报告的相关性<0.100）
C（振幅，σ）=0.939
C（sigma，expon）=-0.774
C（振幅，指数）=-0.745

生成一个这样的图

将y（x）=a*exp（-b*（x-c）**p）拟合到参数a、b、c、p的数据

下面的数值演算示例显示了一种不需要初始猜测参数的非迭代方法

这是本文中解释的一般原则的应用：

在本文的当前版本中，没有明确处理超高斯的情况。没有必要阅读论文，因为下面的屏幕副本显示了整个演算的细节

请注意，数值结果a、b、c、p可用作回归的经典迭代方法的初始值

注:

所考虑的线性方程为：

---

A、 B、C、D是通过线性回归计算的参数。积分的数值S（k）通过对给定数据进行数值积分直接计算（如上例所示）。

这是超高斯函数

    def super_gaussian(x, amp, x0, sigma):
        rank = 2
        return amp * ((np.exp(-(2 ** (2 * rank - 1)) * np.log(2) * (((x - x0) ** 2) / ((sigma) ** 2)) ** (rank))) ** 2)

然后您需要使用scipy优化曲线拟合调用它，如下所示：

import numpy as np  
from lmfit import Model   

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):
    """super-Gaussian distribution
    super_gaussian(x, amplitude, center, sigma, expon) =
        (amplitude/(sqrt(2*pi)*sigma)) * exp(-abs(x-center)**expon / (2*sigma**expon))
    """
    sigma = max(1.e-15, sigma)
    return ((amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))
            * np.exp(-abs(x-center)**expon / 2*sigma**expon))

# generate some test data
x = np.linspace(0, 10, 101)
y = super_gaussian(x, amplitude=7.1, center=4.5, sigma=2.5, expon=1.5)
y += np.random.normal(size=len(x), scale=0.015)

# make Model from the super_gaussian function
model = Model(super_gaussian)

# build a set of Parameters to be adjusted in fit, named from the arguments 
# of the model function (super_gaussian), and providing initial values
params = model.make_params(amplitude=1, center=5, sigma=2., expon=2)

# you can place min/max bounds on parameters
params['amplitude'].min = 0
params['sigma'].min = 0
params['expon'].min = 0
params['expon'].max = 100

# note: if you wanted to make this strictly Gaussian, you could set 
# expon=2  and prevent it from varying in the fit:
### params['expon'].value = 2.0
### params['expon'].vary = False

# now do the fit
result = model.fit(y, params, x=x)

# print out the fit statistics, best-fit parameter values and uncertainties
print(result.fit_report())

# plot results
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(x, y, label='data')
plt.plot(x, result.best_fit, label='fit')
plt.legend()
plt.show()

from scipy import optimize

opt, _ = optimize.curve_fit(super_gaussian, x, y)
vals = super_gaussian(x, *opt)

“VAL”是需要绘制的，即拟合的超高斯函数

这是使用秩=1得到的结果：

排名=2:

等级=3：

---

我对@M Newville的回答非常满意

但要小心括号在

超高斯函数定义中的指数商中被忽略

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):
    ...
    return ((amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))
            * np.exp(-abs(x-center)**expon / 2*sigma**expon))

应该由

def super_gaussian(x, amplitude=1.0, center=0.0, sigma=1.0, expon=2.0):
    ...
    return (amplitude/(np.sqrt(2*np.pi)*sigma))
           * np.exp(-abs(x-center)**expon / (2*sigma**expon))

然后是超高斯函数的半高宽，其中写道：

FWHM = 2.*sigma*(2.*np.log(2.))**(1/expon)

计算良好，与绘图非常一致

我很抱歉写这篇文章作为回答。但我的声誉评分很低，无法在M Newville post中添加评论…
您能发布完整的代码吗？还优化了w.r.t.哪个指标？MSE？您正在使用哪些软件包？下面是一组优化器：方程式I*exp（-2*（（x-x0）/sigma）^p）为xthanks@JJacquelin生成复杂值，我将尝试按照您的方法执行said@MNewville，如何调用最佳拟合得到的参数振幅、中心、西格玛、指数？我想在合身后使用它们。感谢
result。params
是最佳拟合参数的字典，每个参数都有
值
和
stderr
属性（以及其他属性）。因此
result.params['Amplificate'].value
是振幅的最佳拟合值，等等。更多信息，请查看docs（）。对于非线性（或可非线性）函数，在该函数中，回归不能保证有效，需要迭代方法，需要初始值，并且无法保证解是全局的。对于某些函数形式和数据集，可以迭代初始值或开发方法来估计初始值（例如，使用峰值位置作为高斯曲线的中心），但仍在进行局部搜索以优化值。初始值总是必需的。@M Newville。我对这种说法并不感到惊讶。这意味着线性化方法的原理仍然被误解。通常被认为是非线性的东西有时是线性的，这要归功于一个包含方便的积分方程的变换。获得线性形式后，线性回归不需要初始值。如果认为当前假定为非线性的所有函数都是可确定为非线性的，这是一个错误。如果您有一种方法来估计类高斯峰的参数值，请绝对使用该方法。事实上，如果它是一个健壮的Python实现，请考虑将其添加到代码< > LMFIT 或类似的工具——这将是非常有用的。