Python 为什么Symphy不将（-x**3）**（2/3）简化为x**2？

我试图用Symphy来计算以下积分：

手工评估时，答案是−½ 日志（28）

我的工作与SymPy相匹配，直到我集成了

x

：

x, y = sp.symbols('x y', real=True)
z = 1 / (sp.root(y, 3)*(x**3+1))
iz = z.integrate((y, -x**3, 0)) # integrate with respect to y
print(iz)
# -3*(-x**3)**(2/3)/(2*(x**3 + 1))
iiz = iz.integrate((x, 0, 3)) # integrate with respect to x
print(iiz)
# -3*Integral((-x**3)**(2/3)/(x**3 + 1), (x, 0, 3))/2
print(sp.N(iiz))
# 0.833051127543801 - 1.4428868782084*I

似乎是什么把辛皮甩了是

（-x**3）**（2/3）

。这应该简化为

x**2

，但SymPy不这么认为。手动简化，得到与我手工得到的答案相同的答案：

print( sp.integrate(-3*x**2/(2*(x**3 + 1)), (x, 0, 3)) )
# -log(28)/2

---

有更好的方法吗？

您的问题是默认情况下，

sympy.root

返回的是主根，而不是真正的根。为了避免这种情况，您可以使用第三个可选参数

sympy.root

来指定您想要的是真正的根。以下操作将产生所需的结果：

import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y', real=True)
z = 1 / (sp.root(y,3,1)*(x**3+1))
iz = z.integrate((y, -x**3, 0))
iiz = iz.integrate((x, 0, 3))
print(iiz)
# -log(28)/2

为了在某种程度上解决你名义上的问题，

（-x**3）**（2/3）

实际上是

（-x**3）**0.6666667

，因为这是一个Python分数。要获得更接近您想要的东西，您需要执行以下操作：

import sympy as sp
x = sp.symbols('x', positive=True)
solution = (-x**3)**sp.Rational(2,3)
print(solution)
# (-1)**(2/3)*x**2

---

一般来说，我建议避免使用理性力量，除非你真的需要考虑到它们的多重解决方案、复杂性等。

在我的

isympy

课程：SymPy 1.6.2中

In [131]: z = 1 / (root(y,3)*(x**3+1))

In [132]: iz = z.integrate((y, -x**3, 0))

In [133]: iiz = iz.integrate((x,0,3))

In [134]: iiz
Out[134]: 
     2/3         
-(-1)   ⋅log(28) 
─────────────────
        2        

In [135]: N(iiz)
Out[135]: 0.833051127543801 - 1.4428868782084⋅ⅈ

In [136]: abs(iiz)
Out[136]: 
log(28)
───────
   2   

root

文档讨论返回主根，除了提供

k

参数外，还建议使用

real\u root

：

In [137]: z = 1 / (real_root(y,3)*(x**3+1))

In [138]: iz = z.integrate((y, -x**3, 0))

In [139]: iiz = iz.integrate((x,0,3))

In [140]: iiz
Out[140]: 
-log(28) 
─────────
    2    

In [141]: N(iiz)
Out[141]: -1.66610225508760

很明显，二重积分有多重解，取决于根。看起来它们的大小都一样。这听起来很合理，但我复杂的数学学习是在遥远的过去，所以我无法提供理论上的理由

使用

k=2

我们得到了第三个解决方案：

In [146]: z = 1 / (root(y,3,2)*(x**3+1))

In [147]: iz = z.integrate((y, -x**3, 0))

In [148]: iiz = iz.integrate((x,0,3))

    In [149]: iiz
    Out[149]: 
    3 ____        
    ╲╱ -1 ⋅log(28)
    ──────────────
          2     

所以在复平面上有3个解，有乘数，

-1，（-1）**（1/3），-1）**（2/3）

，大小相同

-1.66610225508760
0.833051127543801 - 1.4428868782084⋅ⅈ
0.833051127543801 + 1.4428868782084⋅ⅈ

如果我们在

z

中引入整数符号

k

：

In [158]: z = 1 / (root(y,3,k)*(x**3+1))

In [159]: z
Out[159]: 
      -2⋅k    
      ─────   
        3     
  (-1)        
──────────────
3 ___ ⎛ 3    ⎞
╲╱ y ⋅⎝x  + 1⎠

二重积分变成：

In [164]: iiz =z.integrate((y, -x**3,0)).integrate((x,0,3))

In [165]: iiz
Out[165]: 
             -2⋅k          
             ─────         
     2/3       3           
-(-1)   ⋅(-1)     ⋅log(28) 
───────────────────────────
             2             

---

然后执行

iiz.subs（{k:0}）

etc，生成上述复杂的解决方案。

我快速查看了默认情况下未执行的简化，但不幸的是，它们都没有改变任何内容。您可能应该在github上查询

abs（）

匹配项

iiz

有一个

（-1）**（2/3）

项，这使得结果很复杂。@hpaulj关于

abs（）

的观察非常有趣。这是否意味着

-log（28）/2

和

0.833051127543801-1.442886882084*I

都是有效答案，因为它们在复平面中与原点的距离相同？@nvi:While−½ 对数（28）和0.83− 1.44 我是正确的答案，这不是因为它们有相同的绝对值（到原点的距离）。这只是一个必要的性质，来自于这个特殊方程的特殊性质。有无限多个具有该属性的数字，其中最多有三个是解（取决于该属性的定义）^⅓ 在你的等式中是，你是否允许复杂的解决方案等等）。此外，对于其他问题，解决方案可能有不同的绝对值。运行第一个代码片段显示sp.N（iiz）=-1.6661022550876+2.7105054312376e-20*I。这更接近我所期望的答案，因为sp.N（-sp.log（28）/2）=-1.66610225508760，但我不清楚这个微小的虚部来自何处。根据我的理解，复数没有等价的实数形式，所以我很困惑，对于同一个问题，我得到了两个不同的答案。@nvi:我无法重现。第一个代码向我返回

-log（28）/2

，它将

sympy.N

转换为

-1.66610225508760

。有趣的是，这可能与使用sympy版本1.1.1的Colab有关。我复制了你的代码。谢谢你的帮助。