Python 锯齿序列计数

Z字形序列是一种序列，其中每个元素都小于或大于其相邻元素：

1 3 2

和

2 1 2

是Z字形，

1 2 3

和

1 2

不是Z字形

给定两个数字n，k找出从数字1..k可以生成多少个大小为n的序列

示例：n=3 k=3答案：10

121、212、131、313、232、323、132、231、312、213（为了清楚起见，不需要生成）

我找到了这个解决方案。请告诉我是否可以做得更好

import sys

ZAG = {}
ZIG = {}

def zag(n, i):
    result = 0

    for j in xrange(1, i):    
        if (n - 1, j) not in ZIG:
            ZIG[(n - 1, j)] = zig(n - 1, j)
        result += ZIG[(n - 1, j)]

    return result    

def zig(n, i):
    result = 0

    for j in xrange(i + 1, MAX_NUMBER + 1):
        if (n - 1, j) not in ZAG:
            ZAG[(n - 1, j)] = zag(n - 1, j)
        result += ZAG[(n - 1, j)]

    return result

def count(n): 
    if n == 1:
        return MAX_NUMBER

    result = 0

    for i in xrange(1, MAX_NUMBER + 1):
        ZIG[(1, i)] = 1
        ZAG[(1, i)] = 1

    for i in xrange(1, MAX_NUMBER + 1):
        result += 2*zag(n, i)

    return result

def main(argv):
    global MAX_NUMBER
    MAX_NUMBER = int(argv[1])
    print count(int(argv[0]))

if __name__ == "__main__":
    main(sys.argv[1:])

---

如果通过递归调用Zig（值小于最后一个数）和Zag（值大于最后一个数）迭代各种可能性来生成序列，它会变得更好一些，而且可以做得更好（计算方面，而不是内存方面）通过将已解决的子问题存储在静态表中。

整个序列中的顺序由前两个元素的顺序给出。有两种订购方式：上下向上。。。和上下-。。。两种排序的序列数量相同，因为一种排序的序列可以通过将每个编号

x

与

k+1-x

交换而转换为另一种排序

设

U_k（n）

为长度第一个向上顺序的序列数

n

。设

U_k（n，f）

是长度的第一个向上顺序

n

和第一个数字

f

的序列数。类似的定义是

duk（n）

和

duk（n，f）

那么长度

n

（对于

n>1

）的序列数为：

同样的论点给出：

U_k(n, f) = sum D_k(n-1, s) for s = f+1 ... k
          = sum U_k(n-1, s) for s = 1 ... k-f
U_k(1, f) = 1

编辑：

实现稍微简单一些

M（n，k）

返回第n行（从后面），并且

C（n，k）

统计序列数

def M(n, k):
    if n == 1: return [1]*k
    m = M(n-1, k)
    return [sum(m[:i]) for i in xrange(k)][::-1]

def C(n, k):
    if n < 1: return 0
    if n == 1: return k
    return 2*sum(M(n,k))

defm（n，k）：
如果n==1：返回[1]*k
m=m（n-1，k）
返回xrange（k）中i的[sum（m[：i]）[：：-1]
def C（n，k）：
如果n<1：返回0
如果n==1：返回k
返回2*和（M（n，k））

可能的重复：

def M(n, k):
    if n == 1: return [1]*k
    m = M(n-1, k)
    return [sum(m[:i]) for i in xrange(k)][::-1]

def C(n, k):
    if n < 1: return 0
    if n == 1: return k
    return 2*sum(M(n,k))