Python 显式欧拉方法不'；I don’我没有表现出我所期望的样子

我在python中实现了以下显式euler方法：

def explicit_euler(df, x0, h, N):
    """Solves an ODE IVP using the Explicit Euler method.

    Keyword arguments:
    df  - The derivative of the system you wish to solve.
    x0 - The initial value of the system you wish to solve.
    h  - The step size.
    N  - The number off steps.
    """
    x = np.zeros(N)
    x[0] = x0

    for i in range(0, N-1):
        x[i+1] = x[i] + h * df(x[i])

    return x

在上的文章之后，我可以绘制函数并验证是否得到相同的绘图：。我相信在这里我写的方法是正确的

接下来，我试图用它来解决最后一个系统，而不是图中所示的，我得到：

我不知道为什么我的绘图与网页上显示的不匹配。当我用显式euler方法求解斜率不变的系统时，它似乎工作得很好，但对于振荡函数，它似乎从来没有模仿过它。甚至没有显示链接网页上显示的预期错误增益。我不确定我实现的方法有什么问题

以下是用于绘图和衍生工具的代码：

def g(t):
    return -0.5 * np.exp(t * 0.5) * np.sin(5 * t) + 5 * np.exp(t * 0.5) 
    * np.cos(5 * t)

h = 0.001
x0 = 0
tn = 4
N = int(tn / h)

x = ee.explicit_euler(f, x0, h, N)
t = np.arange(0, tn, h)

fig = plt.figure()
plt.plot(t, x, label="Explicit Euler")
plt.plot(t, (np.exp(0.5 * t) * np.sin(5 * t)), label="Analytical 
solution")
#plt.plot(t, np.exp(0.5 * t), label="Analytical solution")
plt.xlabel('Timesteps t')
plt.ylabel('x(t)=e^(0.5*t) * sin(5*t)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

编辑：

根据要求，这里是我应用该方法的当前方程式：

y'-y=-0.5*e^(t/2)*sin(5t)+5e^(t/2)*cos(5t)

其中y（0）=0

然而，我想澄清的是，这种行为不仅仅发生在这个方程中，而是发生在斜率有符号变化或振荡行为的所有方程中

编辑2： 好的，谢谢。是的，下面的代码确实有效。但我还有一个问题。在指数函数的简单示例中，我定义了一种方法：

def f(x): 
    return x

对于系统f'（x）=x。这给出了我的第一个图形的输出，看起来是正确的。然后我定义了另一个函数：

def k(x): 
    return cos(x)

对于系统f'（x）=cos（x），这不会给出预期的输出。但是当我将函数定义更改为

def k(t, x): 
    return cos(t) 

我得到了预期的输出。如果我改变我的功能

def f(t, x): 
    return t 

我得到一个不正确的输出。我是否总是在一个时间步长上计算函数，并且系统x'=x在每个时间步长上的值只是x的值，这是偶然的吗

我知道Euler方法使用先前计算的值来获得下一个值。但若我运行函数k（x）=cos（x）的代码，我会得到下图所示的输出，这肯定是错误的。现在使用您提供的更新代码

---

问题是，您错误地提出了函数g，您想求解以下等式：

我们观察到：

y' = y -0.5*e^(t/2)*sin(5t)+5e^(t/2)*cos(5t)

然后我们将函数

f（t，y）=y-0.5*e^（t/2）*sin（5t）+5e^（t/2）*cos（5t）

定义为：

def f(t, y):
    return y -0.5 * np.exp(t * 0.5) * np.sin(5 * t) + 5 * np.exp(t * 0.5) * np.cos(5 * t) 

迭代的初始点是

f0=（t（0），y（0））

：

然后根据欧拉方程：

def explicit_euler(df, x0, h, N):
    """Solves an ODE IVP using the Explicit Euler method.

    Keyword arguments:
    df  - The derivative of the system you wish to solve.
    x0 - The initial value of the system you wish to solve.
    h  - The step size.
    N  - The number off steps.
    """
    x = np.zeros(N)
    t, x[0] = x0

    for i in range(0, N-1):
        x[i+1] = x[i] + h * df(t ,x[i])
        t += h

    return x

完整代码：

def explicit_euler(df, x0, h, N):
    """Solves an ODE IVP using the Explicit Euler method.

    Keyword arguments:
    df  - The derivative of the system you wish to solve.
    x0 - The initial value of the system you wish to solve.
    h  - The step size.
    N  - The number off steps.
    """
    x = np.zeros(N)
    t, x[0] = x0

    for i in range(0, N-1):
        x[i+1] = x[i] + h * df(t ,x[i])
        t += h

    return x

def df(t, y):
    return -0.5 * np.exp(t * 0.5) * np.sin(5 * t) + 5 * np.exp(t * 0.5) * np.cos(5 * t) + y

h = 0.001
f0 = (0, 0)
tn = 4
N = int(tn / h)

x = explicit_euler(df, f0, h, N)
t = np.arange(0, tn, h)

fig = plt.figure()
plt.plot(t, x, label="Explicit Euler")
plt.plot(t, (np.exp(0.5 * t) * np.sin(5 * t)), label="Analytical solution")
#plt.plot(t, np.exp(0.5 * t), label="Analytical solution")
plt.xlabel('Timesteps t')
plt.ylabel('x(t)=e^(0.5*t) * sin(5*t)')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

截图：

转储

y'

，右侧的内容是您应该放置在df函数中的内容

我们将修改变量以保持变量的相同标准，

y

为因变量，

t

为自变量

方程2：在这种情况下，方程

f'（x）=cos（x）

将重写为：

y'=cos(t)

然后：

总之，如果我们有以下形式的方程：

y' = f(t, y)

然后：

---

方程式是什么？对不起，现在我的手机上显示的方程式应该显示在第二个链接网页的底部。第三个例子？如果是这样的话，把这个等式放在你的帖子里，链接就会断开，你的帖子对任何人都没有帮助，这是一个社区，答案应该为其他人服务。我已经发现了问题，我马上发布了我的答案。主要的错误是你忽略了等式中的变量y，而不是求解原始等式，已解方程：

y'=-0.5*e^（t/2）*sin（5t）+5e^（t/2）*cos（5t）

我确信它是正确的，但我要到早上才能检查它。谢谢。是的，空间用完了，我正在更新这个问题。我用一个更进一步的例子更新了这个问题，以说明它的行为与我预期的两个例子不同。这可能是因为我对该方法的工作原理有误解。我同意你目前的回答解决了我对一个特定方程的问题，但没有澄清我不理解的部分，以帮助我将该技术应用于其他问题。这就是euler方法的优点，其阶数为O（h^2）。误差不会累积，它取决于时间δ=h

y'=cos(t)

def df(t, y):
    return np.cos(t)

y' = f(t, y)

def df(t, y):
    return f(t, y)