Python坐标变换下的montecarlo积分

我试图用蒙特卡罗方法计算积分，其中被积函数经历了从柱坐标到笛卡尔坐标的转换。被积函数本身非常简单，可以使用

scipy.integrate.quad

进行计算，但我需要它位于笛卡尔坐标系中，以便以后用于特定用途

这就是被积函数：

rho*k_-r**2*（k_-r**2*kn（0，k_-r*rho）**2+k_-n**2*kn（1，k_-r*rho）**2）d rho

这里的

kn（i，rho）

是第二类贝塞尔函数的修正

使用

quad

求解它会得到以下结果：

from scipy.special import kn
from scipy.integrate import quad
import random
k_r        = 6.2e-2
k_n        = k_r/1.05
C_factor   = 2*np.pi*1e5
lmax,lmin  = 80,50

def integration_polar():
    def K_int(rho):
        return rho*k_r**2*(k_r**2*kn(0,k_r*rho)**2+k_n**2*kn(1,k_r*rho)**2)
   
    rho = np.linspace(lmin,lmax,200)
    I,_ = quad(K_int,lmin,lmax)
    Gamma = I*C_factor
    print("expected=",Gamma)

输出：

Expected=7.641648442007296

现在，使用蒙特卡罗法（点击或未点击法）的相同积分给出了几乎相同的结果：

def integration_polar_MC():    
    random.seed(1)
    n = 100000
    def K_int(rho):
        return rho*k_r**2*(k_r**2*kn(0,k_r*rho)**2+k_n**2*kn(1,k_r*rho)**2)
    def sampler():
        x = random.uniform(lmin,lmax)
        y = random.uniform(0,c_lim)
        return x,y

    c_lim = 2*K_int(50) #Upper limit of integrand
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y = sampler()
        func_Int = K_int(x)
        if y>func_Int:
            I = 0
        elif y<=func_Int:
            I = 1
        sum_I += I
     Gamma = C_factor*(lmax-lmin)*c_lim*sum_I/n
     print("MC_integral_polar:",Gamma)

以下是我的尝试：

def integration_cartesian_MCtry():          
    random.seed(1)
    lmin,lmax = -100,100
    n = 100000
    def K_int(x,y):  
        rho = np.sqrt(x**2+y**2)
        if rho>=50 and rho<=80:
            return k_r**2*(k_r**2*kn(0,k_r*rho)**2+k_n**2*kn(1,k_r*rho)**2)
        else:
            return 0
    def sampler():
        x = random.uniform(lmin,lmax)
        y = random.uniform(lmin,lmax)
        z = random.uniform(0,c_lim)
        return x,y,z

    c_lim = K_int(50,0)
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y,z = sampler()
        func_Int = K_int(x,y)
        if z>func_Int:
            I = 0
        elif z<=func_Int:
            I = 1
        sum_I += I

    Gamma  = C_factor*(lmax-lmin)**2*c_lim*sum_I/n
    print("MC_integral_cartesian:",Gamma)

def集成\u笛卡尔\u MCtry（）：
随机种子（1）
lmin，lmax=-100100
n=100000
定义K_int（x，y）：
rho=np.sqrt（x**2+y**2）
如果rho>=50且rhofunc_Int：
I=0
Elifz正如我所说，问题在于雅可比矩阵。如果是polar，则需要对其进行积分

f(ρ)*ρ*dρ*dφ

对dφ进行解析积分（f（ρ）与φ无关），得到2π

在笛卡尔坐标的情况下，没有解析积分，所以它超过dx*dy，没有因子
2π。Python 3.9.1、Windows 10 x64的代码对此进行了说明，它给出了几乎相同的答案

import numpy as np
from scipy.special import kn

k_r        = 6.2e-2
k_n        = k_r/1.05
C_factor   = 2*np.pi*1e5

lmin       = 50
lmax       = 80

def integration_polar_MC(rng, n):

    def K_int(rho):
        if rho>=50 and rho<=80:
            return rho*k_r**2*(k_r**2*kn(0, k_r*rho)**2 + k_n**2*kn(1, k_r*rho)**2)
        return 0.0

    def sampler():
        x = rng.uniform(lmin, lmax)
        y = rng.uniform(0.0, c_lim)
        return x,y

    c_lim = 2*K_int(50) # Upper limit of integrand
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y = sampler()
        func_Int = K_int(x)
        I = 1
        if y>func_Int:
            I = 0

        sum_I += I

    Gamma = C_factor*(lmax-lmin)*c_lim*sum_I/n
    return Gamma


def integration_cartesian_MC(rng, n):

    def K_int(x,y):
        rho = np.hypot(x, y)
        if rho>=50 and rho<=80:
            return k_r**2*(k_r**2*kn(0,k_r*rho)**2+k_n**2*kn(1,k_r*rho)**2)

        return 0.0

    def sampler():
        x = rng.uniform(lmin,lmax)
        y = rng.uniform(lmin,lmax)
        z = rng.uniform(0,c_lim)
        return x,y,z

    lmin,lmax = -100,100
    c_lim = K_int(50, 0)
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y,z = sampler()
        func_Int = K_int(x,y)
        I = 1
        if z>func_Int:
            I = 0
        sum_I += I

    Gamma  = C_factor*(lmax-lmin)**2*c_lim*sum_I/n
    return Gamma/(2.0*np.pi) # to compensate for 2π in the constant

rng = np.random.default_rng()
q = integration_polar_MC(rng, 100000)

print("MC_integral_polar:", q)

q = integration_cartesian_MC(rng, 100000)
print("MC_integral_cart:", q)

将numpy导入为np
来自scipy.special进口kn
k_r=6.2e-2
k_n=k_r/1.05
C_系数=2*np.pi*1e5
lmin=50
lmax=80
def集成\u polar\u MC（rng，n）：
定义K_int（rho）：
如果rho>=50且rhofunc_Int：
I=0
和I+=I
Gamma=C_系数*（lmax lmin）*C_lim*总和I/n
返回伽马
def集成\u笛卡尔\u MC（rng，n）：
定义K_int（x，y）：
rho=np.hypot（x，y）
如果rho>=50且rhofunc_Int：
I=0
和I+=I
Gamma=C_系数*（lmax-lmin）**2*C_-lim*总和I/n
返回伽马/（2.0*np.pi）#以补偿常数中的2π
rng=np.random.default\u rng（）
q=集成度、极性、最大连续性（rng，100000）
打印（“MC_积分_极坐标：”，q）
q=积分笛卡尔矩阵（rng，100000）
打印（“MC_积分车：”，q）
Jacobian？这将导致不同的采样密度谢谢！显然，我已经在常数中加入了2*pi，并且完全忘记了它来自于圆上的dñ积分。
import numpy as np
from scipy.special import kn

k_r        = 6.2e-2
k_n        = k_r/1.05
C_factor   = 2*np.pi*1e5

lmin       = 50
lmax       = 80

def integration_polar_MC(rng, n):

    def K_int(rho):
        if rho>=50 and rho<=80:
            return rho*k_r**2*(k_r**2*kn(0, k_r*rho)**2 + k_n**2*kn(1, k_r*rho)**2)
        return 0.0

    def sampler():
        x = rng.uniform(lmin, lmax)
        y = rng.uniform(0.0, c_lim)
        return x,y

    c_lim = 2*K_int(50) # Upper limit of integrand
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y = sampler()
        func_Int = K_int(x)
        I = 1
        if y>func_Int:
            I = 0

        sum_I += I

    Gamma = C_factor*(lmax-lmin)*c_lim*sum_I/n
    return Gamma


def integration_cartesian_MC(rng, n):

    def K_int(x,y):
        rho = np.hypot(x, y)
        if rho>=50 and rho<=80:
            return k_r**2*(k_r**2*kn(0,k_r*rho)**2+k_n**2*kn(1,k_r*rho)**2)

        return 0.0

    def sampler():
        x = rng.uniform(lmin,lmax)
        y = rng.uniform(lmin,lmax)
        z = rng.uniform(0,c_lim)
        return x,y,z

    lmin,lmax = -100,100
    c_lim = K_int(50, 0)
    sum_I = 0
    for i in range(n):
        x,y,z = sampler()
        func_Int = K_int(x,y)
        I = 1
        if z>func_Int:
            I = 0
        sum_I += I

    Gamma  = C_factor*(lmax-lmin)**2*c_lim*sum_I/n
    return Gamma/(2.0*np.pi) # to compensate for 2π in the constant

rng = np.random.default_rng()
q = integration_polar_MC(rng, 100000)

print("MC_integral_polar:", q)

q = integration_cartesian_MC(rng, 100000)
print("MC_integral_cart:", q)