指定R中随机效果之间的非线性关系

我正在使用多层次模型，试图描述纵向变化中的不同模式。描述当随机效应完全相关时的“扇形”模式。然而，我发现，当随机效应之间的关系是非线性的，但在观察的时间间隔内单调增加时，也会出现类似的模式。在这种情况下，随机效应不是完全相关的，而是由一个函数来描述的。 请参见下面的示例以了解这方面的说明。该示例仍然具有较高的截距斜率相关性（>.9），但在保持完美的截距斜率关系的同时，可以获得低于.7的相关性

我的问题是：有没有一种方法可以在使用

nlme

或其他R包的多水平模型中包含随机效应之间的完美（非线性）关系？MLwiN有一种约束斜率截距协方差的方法，这将是一个开始，但不足以包括非线性关系。到目前为止，我还无法找到nlme的解决方案，但您可能知道其他一些包可以在模型中包含此功能

为粗心的编码道歉。我希望我的问题足够清楚，但如果有什么需要澄清，请告诉我。非常感谢任何帮助或替代解决方案

set.seed(123456)

# Change function, quadratic
# Yit = B0ij + B1ij*time + B2ij*time^2
chn <- function(int, slp, slp2, time){
  score<-int + slp * time+ slp2 * time^2 
  return(score)
}


# Set N, random intercept, time and ID
N<-100
start<-rnorm(N,100,15) # Random intercept
time<- matrix(1:15,ncol = 15, nrow = 100,byrow = T) # Time, balanced panel data
ID<-1:N # ID variable

# Random intercept, linear slope: exp(intercept/25)/75, quadratic slope: exp(intercept/25)/250 
score3<-matrix(NA,ncol = ncol(time), nrow = N)
for(x in ID){
  score3[x,]<-chn(start[x],exp(start[x]/25)/75,exp(start[x]/25)/250,time[x,])
}

#Create dataframe
df<- data.frame(ID,score3)
df2<- melt(df,id = 'ID')
df2$variable<-as.vector(time)


# plot
ggplot(df2, aes(x= variable, y= value)) + geom_line(aes(group = ID)) +
  geom_smooth(method = "lm", formula = y ~ x + I(x^2), se =F, size = 2, col ="red" )


# Add noise and estimate model
df2$value2<-df2$value + rnorm(N*ncol(time),0,2)

# Random intercept
mod1<-lme(value2 ~ variable + I(variable^2),
          random= list(ID = ~1),
          data=df2,method="ML",na.action=na.exclude)
summary(mod1)

# Random slopes
mod2<-update(mod1,.~.,random= list(ID = ~variable + I(variable^2)))
summary(mod2)


pairs(ranef(mod2))

set.seed（123456）
#二次变函数
#Yit=B0ij+B1ij*时间+B2ij*时间^2
chn根据@MattTyers的建议，我尝试了使用
rjags
的贝叶斯方法。这是对随机效应之间具有已知关系的模拟数据的首次尝试，但似乎能产生准确的估计（优于
nlme
模型）。我仍然有点担心Gelman收敛诊断以及如何将此解决方案应用于实际数据。然而，我想我会发布我的答案，以防有人在处理同一个问题

# BAYESIAN ESTIMATE
library(ggplot2); library(reshape2)
# Set new dataset
set.seed(12345)

# New dataset to separate random and fixed
N<-100              # Number of respondents
int<-100            # Fixed effect intercept
U0<-rnorm(N,0,15)   # Random effect intercept
slp_lin<-1          # Fixed effect linear slope
slp_qua<-.25        # Fixed effect quadratic slope
ID<- 1:100          # ID numbers
U1<-exp(U0/25)/7.5  # Random effect linear slope
U2<-exp(U0/25)/25   # Random effect quadratic slope
times<-15           # Max age
err <- matrix(rnorm(N*times,0,2),ncol = times, nrow = N) # Residual term
age <- 1:15         # Ages

# Create matrix of 'math' scores using model
math<-matrix(NA,ncol = times, nrow = N)

for(i in ID){

  for(j in age){

math[i,j] <- (int + U0[i]) + 
  (slp_lin + U1[i])*age[j] + 
  (slp_qua + U2[i])*(age[j]^2) + 
  err[i,j] 

}}

# Melt dataframe and plot scores
e.long<-melt(math)
names(e.long) <- c("ID","age","math")
ggplot(e.long,aes(x= age, y= math)) + geom_line(aes(group = ID))

# Create dataframe for rjags
dat<-list(math=as.numeric(e.long$math),
          age=as.numeric(e.long$age), 
          childnum=e.long$ID,
          n=length(e.long$math), 
          nkids=length(unique(e.long$ID)))
lapply(dat , summary)


library(rjags)

# Model with uninformative priors
model_rnk<-"
model{

#Model, fixed effect age and random intercept-slope connected
for( i in 1:n)
{
  math[i]~dnorm(mu[i], sigm.inv)
  mu[i]<-(b[1] + u[childnum[i],1]) + (b[2]+ u[childnum[i],2]) * age[i] + 
  (b[3]+ u[childnum[i],3]) * (age[i]^2) 
}

#Random slopes
for (j in 1:nkids)
{
  u[j, 1] ~ dnorm(0, tau.a)
  u[j, 2] <- exp(u[j,1]/25)/7.5
  u[j, 3] <- exp(u[j,1]/25)/25
}

#Priors on fixed intercept and slope priors
b[1] ~ dnorm(0.0, 1.0E-5)
b[2] ~ dnorm(0.0, 1.0E-5)
b[3] ~ dnorm(0.0, 1.0E-5)

# Residual variance priors
sigm.inv ~ dgamma(1.5, 0.001)# precision of math[i]
sigm<- pow(sigm.inv, -1/2)   # standard deviation


# Varying intercepts, varying slopes priors
tau.a ~ dgamma(1.5, 0.001)
sigma.a<-pow(tau.a, -1/2)
}"

#Initialize the model
mod_rnk<-jags.model(file=textConnection(model_rnk), data=dat, n.chains=2 )

#burn in 
update(mod_rnk, 5000)

#collect samples of the parameters
samps_rnk<-coda.samples(mod_rnk, variable.names=c( "b","sigma.a", "sigm"), n.iter=5000, n.thin=1)

#Numerical summary of each parameter:
summary(samps_rnk)

gelman.diag(samps_rnk,  multivariate = F)

# nlme model
library(nlme)
Stab_rnk2<-lme(math ~ age + I(age^2),
               random= list(ID = ~age + I(age^2)),
               data=e.long,method="ML",na.action=na.exclude)
summary(Stab_rnk2)

而nlme估计要差得多（随机截距除外）

我一直在考虑采用贝叶斯方法，但对R2WinBUGS和R2JAG的经验有限。如果您能给我举个例子，我将不胜感激。@MattTyers这花了一些时间，但我尝试了rjags包。不过，欢迎任何反馈
1. Empirical mean and standard deviation for each variable,
   plus standard error of the mean:

                Mean       SD  Naive SE Time-series SE
    b[1]    100.7409 0.575414 5.754e-03      0.1065523
    b[2]      0.9843 0.052248 5.225e-04      0.0064052
    b[3]      0.2512 0.003144 3.144e-05      0.0003500
    sigm      1.9963 0.037548 3.755e-04      0.0004056
    sigma.a  16.9322 1.183173 1.183e-02      0.0121340

Random effects:
 Formula: ~age + I(age^2) | ID
 Structure: General positive-definite, Log-Cholesky parametrization
            StdDev      Corr        
(Intercept) 16.73626521 (Intr) age  
age          0.13152688 0.890       
I(age^2)     0.03752701 0.924  0.918
Residual     1.99346015             

Fixed effects: math ~ age + I(age^2) 
                Value Std.Error   DF  t-value p-value
(Intercept) 103.85896 1.6847051 1398 61.64816       0
age           1.15741 0.0527874 1398 21.92586       0
I(age^2)      0.30809 0.0048747 1398 63.20204       0