R 最小二乘极小化

我希望这是提出这样一个基本问题的正确地点。我发现问题和解决方案非常明确，因此它们不能帮助我了解程序的基本原理。
考虑一个随机数据集：

x <- c(1.38, -0.24, 1.72, 2.25)
w <- c(3, 2, 4, 2)

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x您可以按如下方式进行操作：

optim(mean(x), function(mu) sum(w * (x - mu)^2), method = "BFGS")$par
# [1] 1.367273

这里的
mean（x）
是
mu
的初始猜测，我不确定这是否是您想要的，但这里有一个小代数：
我们想找到mu来最小化

S = Sum{ i | w[i]*(x[i] - mu)*(x[i] - mu) }

展开正方形，然后重新排列为三个求和。把不依赖于我的东西带到总数之外：

S = Sum{i|w[i]*x[i]*x[i])-2*mu*Sum{i|w[i]*x[i]}+mu*mu*Sum{i|w[i]}

定义

W = Sum{i|w[i]}
m = Sum{i|w[i]*x[i]} / W
Q = Sum{i|w[i]*x[i]*x[i]}/W

然后

（第二步是“完成正方形”，这是一项简单但非常有用的技术）

在最后一个等式中，由于平方总是非负的，因此使S最小化的μ值为m。
在这种特殊情况下，
coef（lm（x~1，weight=w））[1]
也将产生相同的结果。
S = W*(Q -2*mu*m + mu*mu) 
  = W*( (mu-m)*(mu-m) + Q - m*m)