Agda 关于succ函数的映像

我通常将自然数定义为：

data Nat : Set where
  zero : Nat
  succ : Nat → Nat

也就是说，第一个应该是

one : Nat 
one = succ zero

稍后，我们可以定义图像数据类型

data Image_∋_ {A B : Set} (f : A → B) : B -> Set where
  im : (x : A) → Image f ∋ (f x)

为了证明类似“一是后续函数的形象”的东西，我写道：

我想要以下的

• 定义不允许零作为输入的前置函数及其后续函数。所以下一个是无效的

• 我想要一个叫做Z的变量⁺ 表示正数，但在其定义中使用后继函数的图像（图像_∋_ 上面定义的数据类型）

---

图像f∋ y

读作“有一些

x

这样

y≡ f x

”。

图像f上的模式匹配∋ y

by

im x

显示

x

因此，类型为

Image succi的元素∋ n

证明

n

的形式为

succ m

，其中

m

携带在该元素中。因此，定义很简单

ipred : ∀ {n} → Image succ ∋ n → Nat
ipred (im m) = m

因为

n≡ succ m

和

succ m

的前身是

m

如果我们将

im

重命名为

isucc

，读起来会更好：

open Image_∋_ renaming (im to isucc)

ipred : ∀ {n} → Image succ ∋ n → Nat
ipred (isucc m) = m

写同样东西的另一种方式是

data Image_∋_ {A B : Set} : (A → B) → B → Set where
  _·_ : (f : A → B) → (x : A) → Image f ∋ f x

pred : ∀ {n} → Image succ ∋ n → Nat
pred (.succ · m) = m

这里

f

在

图像f中∋ y

是一个索引而不是一个参数，因此

u·

（以前的

im

）现在接收两个参数：一个函数和它的参数。不可能在函数上进行模式匹配，但是

。succ

是一种“无可辩驳的模式”，即它说“

f

可以是零，但

succ

”

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Nat⁺可以定义为

data Nat⁺ : Set where
  nat⁺ : ∀ {n} → Image succ ∋ n → Nat⁺

成功⁺
接收一个自然数（隐式）和一个证明，对于某些
m
，该数字的形式为
succ m

您始终可以使用正自然数的前导：

pred⁺ : Nat⁺ → Nat
pred⁺ (nat⁺ (im m)) = m

但是由于
Nat⁺
是一种非索引单构造函数数据类型，可以定义为记录：

record Nat⁺ : Set where
  constructor nat⁺
  field
    {pred⁺} : Nat
    image   : Image succ ∋ pred⁺
open Nat⁺

打开Nat⁺介绍
pred⁺ : 纳特⁺ → Nat
在范围内。
您的意思是
pred
的类型应该是
∀ {n}→ 图像成功∋ N→ 纳特
？是的，类似的事情……这正是我所想的。在nat+定义中，还有一个问题是\forall的必要使用，或者仅仅是编写{n:nat}的语法糖？@jonaprieto，它只是糖。注意
∀ {n} 
不是
{n:Nat}
的语法糖，因为省略了类型信息，即
∀ {n} 
是
{n:}
的语法糖。请参阅文档。asr，我确实应该澄清这一点。谢谢@jonaprieto，请看看asr写了什么。
pred⁺ : Nat⁺ → Nat
pred⁺ (nat⁺ (im m)) = m

record Nat⁺ : Set where
  constructor nat⁺
  field
    {pred⁺} : Nat
    image   : Image succ ∋ pred⁺
open Nat⁺