Algorithm 正确性证明：图论中树的直径算法

为了找到一棵树的直径，我可以从树上取任何节点，执行BFS以找到离它最远的节点，然后在该节点上执行BFS。距离第二个BFS的最大距离将产生直径

不过，我不知道如何证明这一点？我曾尝试在节点数量上使用归纳法，但这种情况太多了

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任何想法都将不胜感激……

让我们将第一个BFS发现的端点称为x。关键的一步是证明在第一步中找到的x总是“有效的”——也就是说，它总是在某条最长路径的一端。（请注意，通常可以有多条同样长的路径。）如果我们能够确定这一点，那么很容易看到根在x的BFS将找到距离x尽可能远的某个节点，因此该节点必须是一条总的最长路径

提示：假设（相反）在两个顶点u和v之间有一条较长的路径，这两个顶点都不是x

请注意，在u和v之间的唯一路径上，必须有一些最高（最接近根）顶点h。有两种可能性：要么h在从BFS根到x的路径上，要么不是。通过将u-v路径中的某些路径段替换为x路径，说明在这两种情况下，u-v路径的长度至少可以与x路径的长度相同

[编辑]实际上，可能根本不需要单独治疗这两个病例。但我经常发现将一个配置分解成几个（甚至许多）情况，并分别处理每个情况更容易。这里，h位于从BFS根到x的路径上的情况更容易处理，并为另一种情况提供了线索

[EDIT 2]稍后再回到这里，我认为现在需要考虑的两种情况是：（i）u-v路径与从根到x的路径相交（在某个顶点y处，不一定在u-v路径的最高点h处）；（ii）它没有。我们仍然需要h来证明每个案例。

我会解决的。设

s，t

为最大距离对。设

u

为任意顶点。我们有一个类似的示意图

    u
    |
    |
    |
    x
   / \
  /   \
 /     \
s       t ,

其中，

x

是

s，t，u

的连接点（即位于这些顶点之间的三条路径上的唯一顶点）

假设

v

是距离

u

最大的顶点。如果示意图现在看起来像

    u
    |
    |
    |
    x   v
   / \ /
  /   *
 /     \
s       t ,

    u
    |
    *---v
    |
    x
   / \
  /   \
 /     \
s       t .

然后

现在,

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d（u，s）这里有另一种看待它的方式：

假设G=（V，E）是一个非空的有限树，其顶点集V和边集E

考虑以下算法：

让计数=0。让E中的所有边最初都不着色。让C最初等于V
考虑V的子集V，该子集包含恰好有一条未着色边的所有顶点：

如果V”为空，则让d=count*2并停止
如果V'正好包含两个元素，则将它们的相互（未着色）边涂成绿色，让d=count*2+1，然后停止
否则，V”至少包含三个顶点；进行如下工作：

按一递增计数
从C中删除没有未着色边的所有顶点
对于具有两条或多条未着色边的V中的每个顶点，将其每个绿色边重新着色为红色（某些顶点可能没有此类边）
对于V'中的每个顶点，将其未着色边染成绿色
返回到步骤（2）
这基本上是将图形从叶子向内着色，用绿色标记到叶子的最大距离的路径，用红色标记那些距离较短的路径。同时，C的节点，即到一片叶子的最大距离较短的中心节点，被削掉，直到C只包含到一片叶子的最大距离最大的一个或两个节点

通过构造，从叶顶点到其最近中心顶点（仅穿过绿色边）的所有简单路径的长度（计数）相同，而从叶顶点到其最近中心顶点（至少穿过一条红色边）的所有其他简单路径的长度较短。此外，可以证明：


该算法总是在给定的条件下终止，将G的每一条边都涂成红色或绿色，并将C保留一个或两个元素
在算法终止时，d是G的直径，以边为单位测量
给定v中的顶点v，从v开始的G中的最大长度简单路径正是那些包含中心的所有顶点、终止于叶子并仅在中心和远端端点之间穿过绿色边的路径。这些从v穿过中心，到离中心最远的一片叶子


现在考虑你的算法，这可能是更实际的，鉴于上述。从任何顶点v开始，该顶点正好有一条简单路径p，以中心顶点结束，并包含中心的所有顶点（因为G是一棵树，如果C中有两个顶点，则它们共享一条边）。可以看出，以v为一个端点的G中的最大简单路径都具有p的并集形式，从中心到叶的简单路径仅穿过绿色边
我们的目的的关键点是，另一个端点的传入边必须是绿色的。因此，当我们搜索从那里开始的最长路径时，我们可以访问那些只穿过绿色边缘的路径
    u
    |
    *---v
    |
    x
   / \
  /   \
 /     \
s       t .

d(u, s) <= d(u, v) <= d(u, x) + d(x, v)
d(u, t) <= d(u, v) <= d(u, x) + d(x, v)

d(s, t)  = d(s, x) + d(x, t)
         = d(u, s) + d(u, t) - 2 d(u, x)
        <= 2 d(x, v)

2 d(s, t) <= d(s, t) + 2 d(x, v)
           = d(s, x) + d(x, v) + d(v, x) + d(x, t)
           = d(v, s) + d(v, t),