Algorithm 渐近分析问题

我在Geeksforgeks.org上发现了几个我似乎不明白的问题（#1和#3）。我希望有人能为我澄清答案：

澄清是否正确/有效或错误

1.快速排序的时间复杂度为Θ（n^2）

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我的回答是对的，但它是错的，为什么？如果快速排序的时间复杂度为O（n^2），并且我们知道Θ（g（n））={f（n），其中c1*g（n）快速排序的最坏情况是

O（n^2）

。但是您希望它在

O（n log n）中运行

time。因此，算法的运行时间因情况而异，不能使用θ符号给出算法的一般运行时间

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当然，任何算法运行时间的下限都是常数时间（

Ω（1）

）。虽然它不必达到这个下限，但算法应该运行，并且应该至少有一个操作。

快速排序的时间复杂度是（n^2）----这意味着对于n的每个值，算法产生输出所花费的时间等于一个函数，即f（n）=n^2。但我们知道这对于快速排序是不正确的，因为我们知道对于某些输入，快速排序的运行时间可能等于一个函数，即g（n）=nlogn。因此我们需要指定它是最坏、最好还是平均情况。正确的说法是“快速排序的最坏情况时间复杂度为Θ（n^2）”

“快速排序的时间复杂度为O（n^2）”——这意味着对于每个输入值n，算法的运行时间最多为一个函数，该函数为f（n）=n^2。这意味着存在一些输入，对于这些输入，算法的运行时间可能小于f（n）=n^2。我们知道快速排序的最佳情况时间复杂度为g（n）=nlogn和g（n） 同样，说“快速排序的时间复杂度为Ω（nlogn）”也是正确的，因为这意味着算法的运行时间至少是nlogn，而n^2>nlogn

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“所有计算机算法的时间复杂度都可以写成Ω（1）”---这里1表示常数时间函数。上面的语句暗示：要执行任何计算机算法，我们需要一个最小常数时间。这对所有计算机算法都是正确的。

这些并不是真正的编程问题。你最好问练习题，没有任何意义。关于c没有任何意义复杂，不知道在什么分析下-因此它们是模糊的。快速排序是θ（n^2）最坏的情况（因此也是O（n^2）和ω（n^2）），以及θ（nlogn）平均情况（因此也是O（nlogn）和ω（nlogn））。@user2644819是的，因为它们都是函数集。我试图在@user2644819

O（nlogn）中解释这个问题

是

O（n^2）

的一个子集。大O只给出“上界”，因此如果某个对象的上界为

c*nlogn

，那么它的上界也将为

c*n^2

（对于某些常数c）。回想一下，根据定义，大O意味着：如果存在常数c，那么f（n）在O（nlogn）中，对于所有的n，f（n）让我们来看看大O、θ和ω与最佳/最差/平均情况无关。请参阅。大θ/O/ω可以应用于任何分析-这只是一组函数。我同意该符号只是从数学上显示函数的边界。但在讨论运行时分析时，

Ω

用作运行时间的下限，h最好的情况。而

O

用于上限，因此是最坏的情况。现在，当下限==上限时，我们可以使用θ。所以是的，我犯了一个错误并修复了它。