Algorithm 高阶统一

我正在研究一个高阶定理证明器，其中统一问题似乎是最困难的子问题

如果Huet的算法仍然被认为是最先进的，那么有没有人可以链接到程序员而不是数学家对它的解释

---

或者，即使是任何一阶算法有效而普通一阶算法无效的例子？

最新技术-是的，据我所知，所有算法或多或少都与Huet的算法形状相同（我遵循逻辑编程理论，尽管我的专业知识是相切的）假设您需要完全的高阶匹配：子问题，如高阶匹配（一项闭合的统一）和Dale Miller的模式演算，是可判定的

请注意，Huet的算法在以下意义上是最好的——它就像一个半决策算法，如果存在统一子，它会找到统一子，但如果不存在统一子，它不能保证终止。因为我们知道高阶统一（事实上，二阶统一）是不可判定的，所以你不能做得更好

说明：科纳尔·埃利奥特博士论文的前四章应该符合要求。这一部分将近80页，有一些密集的类型理论，但它的动机很好，是我见过的最具可读性的描述

---

示例：Huet的算法将为这个示例提供商品：[X（o），Y（succ（0））]；这必然会困扰一阶统一算法。

高阶统一（真正的二阶匹配）的一个例子是：

f3==3+3

，其中

==

是模α、β和eta转换（但不赋予“+”任何意义）。有四种解决方案：

\ x -> x + x
\ x -> x + 3
\ x -> 3 + x
\ x -> 3 + 3

相反，一阶统一/匹配不会给出解决方案

HOU与HOA（高阶抽象语法）一起使用时非常方便，可以使用变量绑定对语言进行编码，同时避免变量捕获等的复杂性

---

我第一次接触这个话题是Gerard Huet和Bernard Lang撰写的论文“证明和应用用二阶模式表示的程序转换”。我记得，这篇论文是“为程序员理解而写的”。一旦你了解了二阶匹配，HOU就不需要再进一步了。Huet的一个关键结果是，灵活/灵活的情况（变量作为一个术语的开头，唯一没有出现在匹配中的情况）总是可以解决的。

我想在阅读列表中增加一章，在 自动推理手册。这一章可能是 初学者更容易理解，以λ∏-演算结束，其中 科纳尔·艾略特的论文开始了

可在此处找到预印本：

高阶统一与匹配
吉勒斯·多威克，2001年

Conal Elliott的论文更正式，集中在一个变体上， 最后还介绍了λ∏∑-演算，该演算也有求和类型 除了产品类型

---

再见

还有Tobias Nipkow 1993年的论文（只有11页，其中4页是参考书目和代码附录）。摘要：

本文介绍了一种称为高阶模式的统一算法的完整开发，该算法是$\lambda$-项的一个子类。其出发点是通过转换统一公式，结果是一个可直接执行的功能程序。在最后的开发步骤中，结果被改编为de Bruijn符号中的$\lambda$-术语。这些算法适用于简单类型和非类型术语

---

其中一个罕见的例子是，有人问了一个真正好的（不可谷歌搜索或难以谷歌搜索）问题，却给出了一个来之不易的高质量答案。+1对你们两个来说——哈哈，这可能就是为什么你们的数据是300-600，而不是31.2K或类似的东西。你可能只回答很少有人能回答的问题。你引用的确切的科纳尔·艾略特提供了另一个答案：-D.嗨，查尔斯，你精通“洞”和更高阶的统一吗？见我在Conals答案上的评论。我不确定这些算法是否适用于“洞”。假设我有T==\f\x。（f x）=x+x。然后（T u），即原始的T带有一个用于f的“孔”，其形式为\x。（x）=x+x。但是由于捕获规则，现在还存在一个边约束，即x不应该出现在u中，因此唯一的解决方案是=\y.y+y，而不是\y.y+x、\y.x+y、\y.x+x。我还没有找到一篇这样显示“漏洞”的论文。自从我写这篇文章以来，我也发现了它的清晰性（Moore，Automatically Computing Functional Instances，ACL2'09）。