Algorithm 二部图中交叉数的最小化

在为不相关的内容绘制图形时，我遇到了以下算法问题：

我们有一个二部图的平面图，不相交的集合按列排列，如图所示。我们如何重新排列每列中的节点，以使交叉边的数量最小化？我知道这个问题对于一般图（）来说是NP难的，但是考虑到图是二部的，有什么技巧吗

作为后续，如果有第三列w，它只有到v的边，该怎么办？还是更进一步？

这篇论文 提到Garey和 Johnson还证明了最小化边缘交叉的数量 对于二部图是NP难的。事实上，它仍然是NP难的 即使您被告知一列的最佳顺序：

给定一个二部图，2层图形由放置节点组成 在第一个节点集中，V位于直线L1上，并将节点放置在 平行线L2上的第二个节点集W。最小化问题 两层图形中圆弧之间的交叉数是第一个 由Harary和Schwenk介绍。单边交叉最小化 问题要求在V中查找要放置在L1 so上的节点的顺序 使弧交叉的数量最小化（同时 L2上W中的节点是给定和固定的）。问题的应用 可以在VLSI布局和层次结构图中找到

然而，双边和单边问题被证明是NP难问题 分别由Garey和Johnson以及Eades和Wormald撰写

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Peter de Rivaz指出，这是NP难的，但如果你对某种近似很好，你可以使用下面的解决方案

我最初的想法是使用一些基于力的算法进行图形布局，但实现起来可能有点乏味。但是，嘿，有一个很棒的程序，可以让整个工作为你

因此，安装后，只需准备一个带有图形的文件：

graph G{
   {rank=same A B C D E}
   {rank=same F G H K I J}

    A -- F;
    A -- G;
    A -- K;
    A -- I;
    A -- H;
    A -- J;

    B -- G;

    C -- G;
    C -- J;

    D -- K;
    D -- I;
}

运行：

dot-Tpng yourgraph-o yourgraph.png

并且免费得到这样的东西：-）：

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您想要两列（每个子图一列）还是可以任意放置节点？您想要最佳解决方案还是近似值？（好问题顺便提一下）@arturgrzesiak节点应该仍然在两列中。我会修改这个问题，让它更清楚。两者都会有帮助。一个人类可计算的算法（即，我可以在手工绘制图形时使用的算法）会特别好。那篇论文看起来正是我想要的。谢谢