Algorithm 找到重叠的圆

我有一个矩形区域，其中有半径相等的圆。我想找出哪些圆与其他圆重叠（输出是重叠圆的两个元素集的列表）

我知道如何检查两个圆是否重叠（它们中心之间的距离小于直径）。我可以对每对圆执行此检查，但我想知道是否有更好的算法（比

O（n^2）

更快）

编辑

圆圈的数量通常在100左右，重叠不会经常发生

以下是一些背景：

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长方形是游戏中的战场。单元的移动是以小步进行的，我正在尝试检测单元之间的碰撞。

对于一个简单的解决方案，在2d树中插入中心，并使用查询半径2R围绕每个中心执行循环范围查询。在良好的条件下，这可以是O（N Log（N））

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或者，只需对X上的中心进行排序，然后依次尝试所有圆：通过二分法搜索，找到横坐标Xc并扫描到Xc-2R和Xc+2R，然后检查2D距离

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二分法搜索的成本为O（N Log（N））。如果圆均匀地分布在S边的正方形中，则宽度为4R的条纹包含4RN/S圆，因此总比较成本为4RN²/S。如果S较大，则这是一个良好的性能（假设正方形中N个紧密排列的圆，S~2R）√N、 因此2N√N个比较）。

直接回答：一般来说，你不可能得到比O（N^2）更好的答案，因为圆圈可能全部重叠，所以你必须生成N^2个答案

如果你说得更具体，你可能会得到更好的答案。例如，如果您真正想做的是在2D模拟中找到边界球体，那么您可以从以下事实中获益：实体仅在帧之间移动如此之远，如果圆是稀疏的，则与它们紧密排列时不同，等等。因此，让我们更多地了解这一切

编辑：您编辑了您的问题-您确实在二维模拟中寻找碰撞检测。如果你检查出来，他们指出了几个算法正是你的情况

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我喜欢该页右侧的一个详细列表，其中每个轴都有一个边界间隔列表（2个在“2D”中），当这些边界间隔（定义为一维）发生变化（即存在“重叠状态”）时，只需“努力工作”。这将删除行为良好案例的

O（n²）

。他们没有对其复杂性进行估计，但由于它基本上归结为排序，在我看来，它或多或少是

O（n logn）

，而在帧之间只有最小的变化时，它就更少了。

鉴于对问题陈述的新解释，我建议采用不同的方法

在战场上覆盖一个正方形网格，网格步长等于一个圆的直径。每个圆最多可以重叠四个单元格。在每个单元格中，保留重叠圆的列表（并在每次移动时更新）

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检测潜在碰撞现在每个圆大约需要四个单元/圆测试，即接近线性时间。

好问题。：）在我看来你可以做一些扫描线算法。所有圆都可以与所有其他圆重叠。对我来说，这意味着在最坏的情况下，你不可能比O（n^2）做得更好——尽管可能会有一些启发式算法来优化它。@GordonLinoff我认为应该有一个输出敏感的算法——一个在时间上与重叠数（和圈数）成比例运行的算法；有些相关的线段相交问题就是这样。你的问题不够精确。预期产量是多少

n

圆可以形成一条链，其中任何一个圆都可以与另外两个圆重叠。在这种情况下，输出是什么？n有多大？鉴于n的值很低，不确定这是否能击败穷举搜索：（O（n²）是的，指出这一点是我的本意——如果OP向我们提供更具体的信息，我们可以考虑其他解决方案。他确实这样做了，事实上，我将编辑答案。）