Asymptotic complexity 计算时间复杂度。。需要帮助才能得出最终结果吗

为明天的期中考试而学习，而这些时间的复杂性正是我所面临的。我在复习书中的简单例子，对于这个例子

交换排序

void exchangesort (int n, keytype S[])
{
  index i, j;
  for(i=1; i<=n-1; i++)
    for(j=i+1; j<=n; j++)
      if(S[j] < S[i])
        exchange S[i] and S[j];
}

现在我的问题是。。。1是从哪里来的？我以为是

n-1+n-2+…+n

此外，我真正不明白的是如何想出

（n-1）n/2

这显然是我在期中考试中必须想到的，通过观察这一点，

（n-1）n/2

并不能直观地得出。。。我知道如何想出

T（n）=（n-1）+（n-2）

等等，我想

有没有人能用外行的语言向我解释一下，这样我就可以在明天的期中考试中给出这样的答案？

好的，这样想：

When i = 1, inner loop runs (n - 1) times [j = 2 to n]
When i = 2, inner loop runs (n - 2) times [j = 3 to n]
When i = 3, inner loop runs (n - 3) times [j = 4 to n]
....
When i = k, inner loop runs (n - k) times [j = k + 1 to n]
...
When i = n - 1, inner loop runs (n - (n - 1)) = 1 time [j = n to n]

现在总结一下：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 1 = n(n - 1) / 2

在最坏的情况下，

交换将进行
n（n-1）/2次。
好的，这样想：

When i = 1, inner loop runs (n - 1) times [j = 2 to n]
When i = 2, inner loop runs (n - 2) times [j = 3 to n]
When i = 3, inner loop runs (n - 3) times [j = 4 to n]
....
When i = k, inner loop runs (n - k) times [j = k + 1 to n]
...
When i = n - 1, inner loop runs (n - (n - 1)) = 1 time [j = n to n]

现在总结一下：

(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 1 = n(n - 1) / 2

在最坏的情况下，
交换将执行
n（n-1）/2次。
在内部循环中，
j
从
i+1
运行到
n
，即通过
n-i
值。因此，总的来说，有

sum_{i = 1 to n-1} (n-i)

步骤，
（n-1）+（n-2）+…+（n-（n-1））=（n-1）+（n-2）+。1

现在，对于第一个
k
正整数的和，有一个闭合公式，它是

k*(k+1)/2

这里，
k=n-1

要计算第一个
k
正整数之和的公式，有几种很好的方法，如中所述。据说，Gauss在五岁时就用第一种方法解决了这个问题，老师让学生们计算从1到100的整数之和，希望能安静几分钟。最好看看是否这样安排：

  1   +   2   + ... + (n-1) +   n
  n   + (n-1) + ... +   2   +   1
----------------------------------
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) = n*(n+1)

在内部循环中，
j
从
i+1
运行到
n
，即通过
n-i
值运行。因此，总的来说，有

sum_{i = 1 to n-1} (n-i)

步骤，
（n-1）+（n-2）+…+（n-（n-1））=（n-1）+（n-2）+。1

现在，对于第一个
k
正整数的和，有一个闭合公式，它是

k*(k+1)/2

这里，
k=n-1

要计算第一个
k
正整数之和的公式，有几种很好的方法，如中所述。据说，Gauss在五岁时就用第一种方法解决了这个问题，老师让学生们计算从1到100的整数之和，希望能安静几分钟。最好看看是否这样安排：

  1   +   2   + ... + (n-1) +   n
  n   + (n-1) + ... +   2   +   1
----------------------------------
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) = n*(n+1)

序列从（n-1）到（1）[（n-1），（n-2）…（n-（n-1））]
检查序列的和，了解它是如何推导出来的。这很容易理解。
这个系列从（n-1）到（1）[（n-1），（n-2）…（n-（n-1））]
检查序列的和，了解它是如何推导出来的。这很容易理解。
一种解决方法是：

总和=1+2+3+4+…+n

2*sum=1+2+3+4+…+n+1+2+3+4+…+n=1+（n）+2+（n-1）+3+（n-2）…+（n）+1

2*sum=1+n+1+n+1+n

2*sum=n（1+n）

总和=n*（n+1）/2

但更简单的方法是想象一个正方形或网格矩阵

当我向下移动到每一新行时，j穿过矩阵的对角线并增加一列（当我计算它的一种方法是：

总和=1+2+3+4+…+n

2*sum=1+2+3+4+…+n+1+2+3+4+…+n=1+（n）+2+（n-1）+3+（n-2）…+（n）+1

2*sum=1+n+1+n+1+n

2*sum=n（1+n）

总和=n*（n+1）/2

但更简单的方法是想象一个正方形或网格矩阵

当我向下到每一新行时，j穿过矩阵的对角线，并在对角线上增加一列（因为我记不太清楚细节。但请注意，在最坏的情况下，每个循环将进行n次传递。因此，有2个嵌套循环。这就是为什么有（n）（n）。我希望其他stackoverflowers GV能为您提供准确的答案。我记不太清楚细节。但请注意，在最坏的情况下，每个循环将进行n次传递。因此，有2个嵌套循环。这就是为什么有（n）（n）.我希望其他stackoverflowers能给你准确的答案。+1前k个整数的和解释得很好，但你会想记住它…啊，谢谢，现在我明白了1的来源。所以我想如果我理解正确，k*（k+1）/2只是一个我应该“刚刚知道”的常规算术公式…+1前k个整数的和解释得很好，但你要记住它…啊，谢谢，现在我明白了1的来源。所以我想如果我理解正确，k*（k+1）/2只是一个我应该“刚刚知道”的常规算术公式…而且，我不确定你是否需要自己提出这个公式…这是一个相当标准的公式。1+2+3+n之和出现在数学的许多领域。大多数人只是使用它，而没有每次证明它。谢谢罗伯特，对正方形/矩阵的解释让我很容易理解。我也不确定你是否需要提出这是一个相当标准的公式。1+2+3+…+n之和出现在数学的许多领域。大多数人只是使用它，而不是每次都证明它。谢谢罗伯特，对正方形/矩阵的解释使我很容易将链接的thx可视化，这使我意识到这只是一个我应该知道但可以理解的公式加油，因为这只适用于算术级数。在你的情况下，这将是最适用的，但只是一个警告。）thx的链接，这让我意识到这只是一个公式，我应该知道，但要小心，因为它只适用于算术级数。在你的情况下，这将是最适用的，但只是一个警告。）