C-浮点舍入

我想了解浮点数是如何工作的

我想我想通过评估以下内容来测试我知道/需要学习的内容：我想找到最小的

x

，这样

x+1=x

，其中

x

是一个浮点数

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据我所知，如果

x

足够大，使得

x+1

比下一个大于x的数字更接近x，则会发生这种情况。直观地看，我的有效位中没有足够的数字。那么这个数字x是有效位都是1的数字吗。但我似乎不知道指数应该是多少。显然，它必须很大（无论如何，相对于10^0）

从1.0开始，一直加倍，直到测试成功：

double x;
for (x = 1.0; x + 1 != x; x *= 2) { }
printf("%g + 1 = %g\n", x, x + 1);

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您只需要用指数表示尾数中LS位的值。当该值大于1时，表示您已满足条件。对于单精度浮点，LS位的值为2^-24*2^ exp，因此exp大于24时，即25时，将满足条件。因此，满足该条件的最小（标准化）数字为1.0*2^25=33554432.0f

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我没有检查这一点，因此我的数学可能在某个地方出现偏差（例如，系数为2），并且FP单位也可能在第24位之后进行舍入，因此可能需要进一步的系数2来解释这一点，但是你得到了一个大致的想法…

我建议，在试图理解f-p数字和f-p算术时，你使用十进制，有效位为5位，指数为2位。（或者，如果5和2不适合您，6和3或您喜欢的任何其他小数字。）以下问题：

• 可表示的有限数字集
• 非交换性、非结合性和非分配性
• 将f-p数视为实数时可能出现的问题

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所有这些都很容易用十进制计算出来，而且你所学到的课程都是很一般的。一旦你弄明白了这一点，增强你的IEEE f-p算法知识将相对简单。您还可以相对轻松地算出其他f-p算术系统。

尝试一下并不意味着我理解为什么：）我宁愿先把它理出来。我猜这篇文章更笼统地讲的是如何将舍入合并到浮点数学中，正如我提出的示例问题所证明的那样。哦，伙计，当你发布这篇文章时，我真的算出了正确的答案！美好的实际上，x=2^24是满足条件的第一个浮点（任何大于2^24-1的浮点都需要25位，因此超过一个浮点所能精确容纳的位数）。在尾数之外可能有一些你看不到的粘性位，用于四舍五入，这取决于数字进入寄存器的方式（通过int到float或通过float+float（1.0）等）可能会有细微的差异，因此它可能是24、25或26位，但在该范围内的某个地方，您会将尾数末尾的一位推到以太中。@dwelch:我很确定它会发生在25位范围内；如果不是2^24（在我的测试中它适用于2^24）25位整数必须舍入为偶数（16777216、16777218、16777220、16777222，…），所以这些都是x的候选项。如果所有的2^23个都加上1，那么要从x取整，你就必须非常不走运！我假设一些FPU在这方面有所不同，我已经很久没有看过规范了，看看它是否有关于这方面的细节了。从理论角度来看，你至少还需要再多看一点来做roun丁。回答具体问题也取决于X，取整1加上正确的数字将取整到尾数，其他取整模式不会。也许我们已经把这匹马打死了，海报对指数尾数的理解足够好。正如你所问，减去无穷大：-）你可能想要最小的正数，而不是最小的数。