Coq 逻辑：所有的定义和所有的定理

任务如下：

从[In]中汲取灵感，编写递归函数[All] 说明某些属性[P]包含列表[l]的所有元素。到 确保你的定义是正确的，证明下面的[All_In]引理。 （当然，你的定义不应该只是重申左手的意思 [All_In]的侧面）

中的

定义如下：

Fixpoint In {A : Type} (x : A) (l : list A) : Prop :=
  match l with
  | [] => False
  | x' :: l' => x' = x \/ In x l'
  end.

首先，我以类似的方式定义了
All
：

Fixpoint All {T : Type} (P : T -> Prop) (l : list T) : Prop :=
  match l with
  | [] => False
  | x' :: l' => P x' /\ All P l'
  end.

但后来我认为这是不正确的，因为连接结束时的False总是会给出False

如果列表的最后一个nil元素不是空的，我们需要忽略它（这不起作用，只是一个想法）：

错误，我不知道如何解决：

错误：术语“l'=[]”的类型“Prop”不是
（共）感应型

然后我回到第一种情况：

  | x' :: l' => P x' /\ All P l'

并尝试证明定理中的所有_：

Lemma All_In :
  forall T (P : T -> Prop) (l : list T),
    (forall x, In x l -> P x) <->
    All P l.
Proof.
  intros T P l. split.
  - (* Left to right *)
    intros H. induction l as [| h t IHl].
    + simpl. simpl in H.

因为我们的结论是错误的，但是前提中没有错误的假设，整个陈述都是谎言

如何正确定义所有
我的证据怎么了
所有
应将
[]
转换为
真
。这基本上是因为，但是你可以看到不这样做是如何导致问题的

没有
所有p[]
都为真也会使引理为假。对于所有
x
，x[]

中的

为false。但是false意味着任何东西，包括
px
，所以我们对所有x都有
，在x[]->px
。但是如果
All P[]
为false，那么这两个语句就不能等价。
All
应该将
[]
转换为
True
。这基本上是因为，但是你可以看到不这样做是如何导致问题的

没有
所有p[]
都为真也会使引理为假。对于所有
x
，x[]

中的

为false。但是false意味着任何东西，包括
px
，所以我们对所有x都有
，在x[]->px
。但是如果
All P[]
为false，那么这两个语句就不可能是等价的

Lemma All_In :
  forall T (P : T -> Prop) (l : list T),
    (forall x, In x l -> P x) <->
    All P l.
Proof.
  intros T P l. split.
  - (* Left to right *)
    intros H. induction l as [| h t IHl].
    + simpl. simpl in H.

T : Type
P : T -> Prop
H : forall x : T, False -> P x
============================
False