如何在Coq中使用自定义归纳原则？

我读到一个类型的归纳原理只是一个关于命题

p

的定理。因此，我基于右（或反向）列表构造函数为

列表构建了一个归纳原则

Definition rcons {X:Type} (l:list X) (x:X) : list X := 
  l ++ x::nil.

归纳原则本身是：

Definition true_for_nil {X:Type}(P:list X -> Prop) : Prop :=
  P nil.

Definition true_for_list {X:Type} (P:list X -> Prop) : Prop :=
  forall xs, P xs.

Definition preserved_by_rcons {X:Type} (P: list X -> Prop): Prop :=
  forall xs' x, P xs' -> P (rcons xs' x).

Theorem list_ind_rcons: 
  forall {X:Type} (P:list X -> Prop),
    true_for_nil P ->
    preserved_by_rcons P ->
    true_for_list P.
Proof. Admitted.

但是现在，我在使用这个定理时遇到了困难。我不知道如何调用它来实现与归纳法相同的策略

例如，我尝试：

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X), rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2. 
  induction l2 using list_ind_rcons.

但在最后一行，我得到：

Error: Cannot recognize an induction scheme.

定义和应用自定义归纳原则（如
list\u ind\r cons
）的正确步骤是什么

谢谢
你所做的基本上是正确的。问题是，由于中间的定义，Coq在认识到您所写的是归纳原则方面有一些困难。例如，这一点很好：

Theorem list_ind_rcons:
  forall {X:Type} (P:list X -> Prop),
    P nil ->
    (forall x l, P l -> P (rcons l x)) ->
    forall l, P l.
Proof. Admitted.

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X), rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2.
  induction l2 using @list_ind_rcons.

我不知道Coq不能自动展开中间定义是否应该被视为缺陷，但至少有一个解决办法。
如果想要保留中间定义，那么可以使用
部分
机制，如下所示：

Require Import Coq.Lists.List. Import ListNotations.

Definition rcons {X:Type} (l:list X) (x:X) : list X := 
  l ++ [x].

Section custom_induction_principle.    
  Variable X : Type.
  Variable P : list X -> Prop.

  Hypothesis true_for_nil : P nil.
  Hypothesis true_for_list : forall xs, P xs.
  Hypothesis preserved_by_rcons : forall xs' x, P xs' -> P (rcons xs' x).

  Fixpoint list_ind_rcons (xs : list X) : P xs. Admitted.
End custom_induction_principle.

Coq替换了定义，
列表索引
具有所需的类型和
归纳。。。使用…
可以：

Theorem rev_app_dist: forall {X} (l1 l2:list X),
  rev (l1 ++ l2) = rev l2 ++ rev l1.
Proof. intros X l1 l2. 
  induction l2 using list_ind_rcons.
Abort.

顺便说一句，标准库（模块）中有此归纳原则：

CoqProp），
P[]->
（对于所有（x:A）（l:list A），PL->P（l++[x]））->
对于所有l:列表A，P l
我想你的意思是
（对于所有的xl，pl->P（l++（x：：nil））->
@gallais确实，谢谢你发现了它。只是修正了它。在Coq中，在战术的实施中长期存在着对定义平等的不尊重。虽然这在意识形态上是有问题的，但在实践中对此采取任何行动都为时已晚。
Coq < Check rev_ind.
rev_ind
     : forall (A : Type) (P : list A -> Prop),
       P [] ->
       (forall (x : A) (l : list A), P l -> P (l ++ [x])) ->
       forall l : list A, P l