Coq中圆对称的求解证明

我正在使用结构同余进行证明，其定义非常类似于此示例：

Require Import Nat.
Require Import Omega.

Inductive expr :=
  | Const : nat -> expr
  | Add : expr -> expr -> expr.


Reserved Notation "e1 === e2" (at level 80).
Inductive expr_congruence : expr -> expr -> Prop :=
  | Commutative : forall e1 e2, Add e1 e2 === Add e2 e1
  | Associative : forall e1 e2 e3, Add (Add e1 e2) e3 === Add e1 (Add e2 e3)
  | CongruenceReflexive : forall e, e === e
  | CongruenceSymmetric : forall e1 e2, e1 === e2 -> e2 === e1
  | CongruenceTransitive :
      forall e1 e2 e3, e1 === e2 -> e2 === e3 -> e1 === e3
  where "e1 === e2" := (expr_congruence e1 e2).

当我试图为所有e1 e2，e1===e2->p e1->p e2定义某种形式的东西时遇到问题：我总是以循环逻辑结束。例如：

Inductive is_zero : expr -> Prop :=
  | ZConst : is_zero (Const 0)
  | ZAdd : forall e1 e2, is_zero e1 -> is_zero e2 -> is_zero (Add e1 e2).

Hint Constructors is_zero expr_congruence.

Lemma is_zero_over_congruence :
  forall e1 e2,
    e1 === e2 ->
    is_zero e1 ->
    is_zero e2.
Proof.
  induction 1; eauto; intros.

  Show 3.
(**
1 subgoal
e1, e2 : expr
H : e1 === e2
IHexpr_congruence : is_zero e1 -> is_zero e2
H0 : is_zero e2
**)

这里，

e1

和

e2

之间的唯一联系是它们是一致的。对它们进行倒装或归纳最终会返回到同一个案例，而这并没有提供额外的信息

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当使用以这种方式定义的对称结构时，处理归纳的正确方法是什么？

至少在这个最小的例子中，你只需要证明一些更有力的东西：

Lemma is_zero_over_congruence :
  forall e1 e2, e1 === e2 -> is_zero e1 <-> is_zero e2.
Proof.
  induction 1.
  - split; intros HI; inversion HI; eauto.
  - split; intros HI; inversion HI; [inversion H1 | inversion H2]; eauto.
  - reflexivity.
  - symmetry. auto.
  - rewrite IHexpr_congruence1, IHexpr_congruence2. reflexivity.
Qed.

引理是\u零\u在\u同余上：
对于所有e1 e2，e1===e2->is_zero e1 is_zero e2。
证明。
归纳1。
-分裂；介绍HI；反转HI；奥托。
-分裂；介绍HI；反转HI；[反转H1 |反转H2]；奥托。
-自反性。
-对称性。自动的。
-重写IHexpr\u一致性1，IHexpr\u一致性2。自反性。
Qed。

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因此，当您需要证明

is\u zero e2 is\u zero e1

时，您可以使用

is\u zero e1 is\u zero e2
作为归纳假设谢谢，这是一个好主意。我想它也能解决我的大问题（类型保留优于结构一致性）。你的问题很难理解，因为MWE没有定义。当然，我可以编辑它。