Floating point Fortran/gfortran中的高精度幂运算

gfortran如何处理整数与实数的幂运算？我总是假设它是一样的，但是考虑这个例子：

program main

implicit none

integer, parameter :: dp = selected_real_kind(33,4931)

real(kind=dp) :: x = 82.4754500815524510_dp

print *, x
print *, x**4
print *, x**4.0_dp

end program main

使用gfortran编译

82.4754500815524510000000000000000003      
46269923.0191143410452125643548442147      
46269923.0191143410452125643548442211 

---

现在很明显，这些数字几乎是一致的——但如果gfortran以同样的方式处理整数和实数进行幂运算，我希望它们是相同的。提供了什么？

稍微扩展您的程序可以显示正在发生的事情：

ijb@ianbushdesktop ~/work/stack $ cat exp.f90
program main

implicit none

integer, parameter :: dp = selected_real_kind(33,4931)

real(kind=dp) :: x = 82.4754500815524510_dp

print *, x
print *, x**4
print *,(x*x)*(x*x)
print *,Nearest((x*x)*(x*x),+1.0_dp)
print *, x**4.0_dp

end program main

编译和运行提供：

ijb@ianbushdesktop ~/work/stack $ gfortran --version
GNU Fortran (GCC) 7.4.0
Copyright (C) 2017 Free Software Foundation, Inc.
This is free software; see the source for copying conditions.  There is NO
warranty; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.

ijb@ianbushdesktop ~/work/stack $ gfortran exp.f90 
ijb@ianbushdesktop ~/work/stack $ ./a.out
   82.4754500815524510000000000000000003      
   46269923.0191143410452125643548442147      
   46269923.0191143410452125643548442147      
   46269923.0191143410452125643548442211      
   46269923.0191143410452125643548442211      
ijb@ianbushdesktop ~/work/stack $ 

因此

看起来编译器足够聪明，可以通过乘法计算整数幂，这比一般的幂函数快得多

使用一般的求幂函数与乘法答案仅相差1位。鉴于我们不能说哪一个本身更准确，我们必须接受两者同样准确

---

因此，总的来说，编译器在可能的情况下使用简单的乘法，而不是一个完整的求幂例程，但即使它必须使用更昂贵的方法，它也会给出相同的答案，出于完整性考虑，“相同”一词的含义，对（精确的）分数求幂会导致

46269923.019114341045212564354844220930226304938209797955723262974801
46269923.0191143410452125643548442211 is the nearest
46269923.0191143410452125643548442147

对最近的四精度浮点（）求幂会导致

看来求幂函数已经四舍五入到最接近的浮点。我不知道这是运气还是底层的数学库保证了正确的舍入

整数指数：

x2 = x*x
x4 = x2*x2

---

累积两个舍入误差，所以可能是1 ulp off，这并不奇怪。

值得注意的是，整数幂的幂运算是“数值操作数在计算表达式之前转换为结果的类型和种类”的例外。也就是说，可以看到

x**4

和

x**4.

之间的差异，因为我们不需要将前者转换为后者。嗯，很有趣！所以一般来说，求幂的最佳实践是使用整数，因为它更快，并且具有相同的精度？此外，我们不得不接受两个答案同样准确，这有点令人不满意——显然其中一个更接近真实值@user1887919对于任何给定的计算，其中一个将给出更接近IEEE 754轮的结果，接近精确答案的最近值。可能没有一个通用规则来说明哪一个更准确。您可以看到gfortran使用-fdump tree-original选项做了什么。对于整数指数，将生成对_gfortran_pow_r16_i4（）的调用。这是gfortran运行库的一部分。它的算法来自DeKnuth，《计算机编程的艺术》第2卷。对于浮点指数，将生成对powq（）的调用。powq（）是libquadmath的一部分，因此您可以阅读整型值指数是如何处理的。

x2 = x*x
x4 = x2*x2