Fortran语言中的龙格库塔

我试图在Fortran中实现Runge-Kutta方法，并且面临收敛问题。我不知道我应该展示多少代码，所以我将详细描述这个问题，并请指导我应该在文章中添加/删除哪些内容以使其具有可解释性

我有一个球的位置和速度的6维向量，以及相应的微分方程组。这描述了运动方程，我想从中计算球的轨迹，并比较RK方法不同阶次的结果

让我们关注三阶RK。我使用的模型实现如下：

k1 = h * f(vec_old,omega,phi)
k2 = h * f(vec_old + 0.5d0 * k1,omega,phi)
k3 = h * f(vec_old + 2d0 * k2 - k1,omega,phi)
vec = vec_old + (k1 + 4d0 * k2 + k3) / 6d0

其中

f

是构成运动方程的函数（或相当于我的微分方程系统的RHS）。请注意，

f

与时间无关，因此只有一个参数

h

扮演小时间步长dt的角色

如果我们希望计算有限时间内球的轨迹

总时间

，并考虑总误差

ε

，那么我们需要确保每一步都取误差的比例分数。第一步，我做了以下工作：

vec1 = solve(3,vec_old,h,omega,phi)
vec2 = solve(3,vec_old,h/2d0,omega,phi)
do while (maxval((/(abs(vec1(i) - vec2(i)),i=1,6)/)) > eps * h / (tot_time - current_time))
    h = h / 2d0
    vec1 = solve(3,vec_old,h,omega,phi)
    vec2 = solve(3,vec_old,h/2d0,omega,phi)
end do
vec = (8d0/7d0) * vec2 - (1d0/7d0) * vec1

其中，

solve（3，vec_old，h，omega，phi）

是计算上述单个RK步长的函数

3

表示我们正在使用的RK顺序，

vec_old

是位置速度向量的当前状态，

h，h/2d0

都表示正在使用的时间步长，

omega，phi

只是

f

的一些额外参数。最后，对于第一步，我们设置

current\u time=0d0

关键是，如果我们使用三阶RK，我们应该在$O（h^3）$中有一个错误，因此在

h

中下降得比线性下降得快。因此，我们应该期望while循环最终在足够小的

h

时停止

我的问题是循环不收敛，甚至不接近比率

maxval(...) / eps * (...)

一直保持几乎不变，直到由于精度有限，

eps*h/（tot\u time-current\u time））

变为零

为了完整起见，这是我对

f

的定义：

function f(vec_old,omega,phi) result(vec)
    real(8),intent(in) :: vec_old(6),omega,phi
    real(8) :: vec(6)
    real(8) :: v,Fv

    v = sqrt(vec_old(4)**2+vec_old(5)**2+vec_old(6)**2)
    Fv = 0.0039d0 + 0.0058d0 / (1d0 + exp((v-35d0)/5d0))
    vec(1) = vec_old(4)
    vec(2) = vec_old(5)
    vec(3) = vec_old(6)
    vec(4) = -Fv * v * vec_old(4) + 4.1d-4 * omega * (vec_old(6)*sin(phi) - vec_old(5)*cos(phi))
    vec(5) = -Fv * v * vec_old(5) + 4.1d-4 * omega * vec_old(4)*cos(phi)
    vec(6) = -Fv * v * vec_old(6) - 4.1d-4 * omega * vec_old(4)*sin(phi) - 9.8d0
end function f

有人知道为什么while循环不收敛吗？

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如果还需要什么（输出、其他代码等），请告诉我，我会添加它。此外，如果需要修剪，我会修剪任何认为不必要的东西。谢谢

要使用半步法计算步长误差，您需要在两种情况下计算

t+h

处的近似值，这意味着步长为

h/2的两步。现在，将
t+h
处的近似值与
t+h/2
处的近似值进行比较，得出的误差大小为
f（vec（t+h/2））*h/2

因此，更改为三步程序

vec1 = solve(3,vec_old,h,omega,phi)
vec2 = solve(3,vec_old,h/2d0,omega,phi)
vec2 = solve(3,vec2   ,h/2d0,omega,phi)

在这两个位置，
vec2-vec1
的差异应该是有序的
h^4
耶！我在分析中确实弄错了，代码现在运行得很好。顺便说一句，谢谢你，因为向量有不同的单位（三个指数对应位置，三个指数对应速度），这就意味着方程组是由二阶微分方程组成的，范数应该考虑到这一点吗？我的意思是，速度指数在某种程度上有一个额外的因子h。那么，在计算范数时，将“h”中的最后三个指数相乘有意义吗？不，与
h
相乘没有意义。然而，对范数进行缩放是明智的，这样导数向量的每个分量的平均值或大小都是相同的。一般来说，几何或物理对称性应该被保留，所以最后3个分量只有一个固定因子。。。因此，我将尝试想出一些有意义的东西，比如平均时间步长的估计值等，这样分量的大小也可以比较。非常感谢。