Functional programming 用表查找替换函数

我一直在看，我想更好地理解他说的话：

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每一个不切实际的程序员都要经历这个学习阶段 函数可以替换为表查找

现在，我是一名C#程序员，从未上过大学，所以也许在这一过程中，我错过了其他人都能理解的东西

布赖恩所说的：

函数可以替换为表查找

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是否有这样做的实际例子，它是否适用于所有功能？他给出了sin函数的例子，我可以理解它，但是我如何从更一般的角度理解它呢？

Brian刚刚证明函数也是数据。函数通常只是一个集合到另一个集合的映射：

y=f（x）

是集合{x}到集合{y}:

f:x->y的映射。这些表也是映射：
[x1，x2，…，xn]->[y1，y2，…，yn]

如果函数在有限集上运行（编程中就是这种情况），则可以用表示该映射的表替换它。正如Brian所提到的，每一个命令式程序员都经历了这个理解阶段，即仅仅出于性能原因，可以用表查找来替换函数

但这并不意味着所有函数都可以或应该很容易地用表替换。这只意味着理论上你可以对每个函数都这样做。因此，结论是函数是数据，因为表是数据（当然在编程环境中）。
在函数编程环境中，有引用透明的概念。引用透明的函数可以替换为任何给定参数（或参数集）的值，而不改变程序的行为


例如，考虑函数<强> f，需要1个参数，<强> n<强>。F是参考透明的，因此F（n）可以替换为F在n处计算的值。这对程序没有影响
在C#中，这看起来像：

public class Square
{
    public static int apply(int n)
    {
        return n * n;
    }

    public static void Main()
    {
        //Should print 4
        Console.WriteLine(Square.apply(2));
    }
}

（我不太熟悉C#，它来自Java背景，因此如果这个示例在语法上不太正确，您必须原谅我）

这里很明显，当使用参数2调用函数时，apply不能有4以外的值，因为它只是返回参数的平方。函数的值仅取决于它的参数，n；换句话说，引用透明性

那么，我问你，
Console.WriteLine（Square.apply（2））
和
Console.WriteLine（4）
之间有什么区别。答案是，根本没有区别，因为所有的意图都是目的。我们可以遍历整个程序，将
Square.apply（n）
的所有实例替换为
Square.apply（n）
返回的值，结果将完全相同

那么Brian Beckman关于用表查找替换函数调用的陈述是什么意思呢？他指的是引用透明函数的这个属性。如果
Square.apply（2）
可以替换为
4
，对程序行为没有影响，那么为什么不在进行第一次调用时缓存这些值，并将其放入由函数参数索引的表中呢。
Square.apply（n）
值的查找表看起来有点像这样：

              n: 0 1 2 3 4  5  ...
Square.apply(n): 0 1 4 9 16 25 ...

对于对
Square.apply（n）
的任何调用，我们只需在表中找到n的缓存值，并用该值替换函数调用即可。很明显，这很可能会使程序的速度大大提高。
Mathematica中有一个可爱的技巧，它创建一个表，作为将函数调用作为重写规则进行计算的副作用。考虑经典的慢斐波那契

fib[1] = 1
fib[2] = 1
fib[n_] := fib[n-1] + fib[n-2]

前两行为输入1和2创建表条目。这和说的一模一样

fibTable = {};
fibTable[1] = 1;
fibTable[2] = 1;

在JavaScript中。Mathematica的第三行说：“请安装一个重写规则，在用出现的实际参数替换模式变量
n_
之后，用
fib[n-1]+fib[n-2]
替换任何出现的
fib[n_U]
”重写器将迭代这个过程，经过指数级的重写之后，最终生成
fib[n]
的值。这就像我们在JavaScript中使用的递归函数调用形式一样

function fib(n) {
  var result = fibTable[n] || ( fib(n-1) + fib(n-2) );
  return result;
}

注意，在进行递归调用之前，它首先检查表中显式存储的两个值。Mathematica evaluator自动执行此检查，因为规则的表示顺序很重要——Mathematica首先检查更具体的规则，然后检查更一般的规则。这就是为什么Mathematica有两种赋值形式，
=
和
：=
：前者用于特定规则，其右侧可以在规则定义时计算；后者适用于应用规则时必须计算其右侧的一般规则

现在，在数学中，如果我们说

fib[4]

它被改写为

fib[3] + fib[2]

然后

fib[2] + fib[1] + 1

然后

1 + 1 + 1

最后是3，下次重写时不会更改。你可以想象，如果我们说
fib[35]
，我们将生成巨大的表达式，填满内存，融化CPU。但诀窍是用以下内容替换最终重写规则：

fib[n_] := fib[n] = fib[n-1] + fib[n-2]

这表示“请用表达式替换每次出现的
fib[n]
，该表达式将为
fib[n]
的值安装一个新的特定规则，并生成该值。”此表达式运行得更快，因为它扩展了规则库（值表）在运行时

我们也可以在JavaScript中这样做

function fib(n) {
  var result = fibTable[n] || ( fib(n-1) + fib(n-2) );
  fibTable[n] = result;
  return result;
}

这比p运行得快得多
DownValues[fib]

fibTable