Geometry 从贝塞尔曲线到点的垂直线 问题:

我需要得到一条三次（2d）贝塞尔曲线B（t）的点Q，从点Q到另一个给定点p的直线与贝塞尔曲线垂直相交

• 我知道：P，B（t）
• 我寻找：Q（基本上我想得到g的斜率，但当我知道Q时，我可以很容易地计算出来，但是g的斜率就足够了）

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我现在所做的（你可以跳过这个） 请注意，我认为这个安萨兹是错误的。这只是出于完整性考虑

我试图用我的数学（基础）知识来解决这个问题，但我无法完成。这就是我现在拥有的（请不要对符号太严格，我在这方面不是很好）：

以下公式将用y（x）表示，为了得到一个结果，必须对y（x）和x（y）进行计算。点P是控制点，Q是从Q到P的线g（x）垂直于贝塞尔曲线B（t）=（x，y）t的点。线g（x）的表达式可以通过

其中，B（x）是笛卡尔坐标系中的贝塞尔曲线，B'（x）是导数（笛卡尔坐标系中），k是与y轴的交点。要得到g（x）的斜率，必须求解

为了计算B（x），我们必须解出t的B（t），然后把它插回B（t）。所以在贝塞尔曲线上的每一点上都有一个关系

这也适用于导数B’（t）

B（t）的导数是（根据）

为t（）解决这个问题会导致

其中a0=（P1-P0）x，a1=（P2-P1）x和a2=（P3-P2）x。将*ti*s插回B（t）会导致（，）

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现在，下一步是使用y=B'（x）和第二个方程，并消除x，但我不知道如何，甚至不知道这是否可行。

您已经知道贝塞尔曲线的导数-它描述了曲线的切线。此切线应垂直于

QP

矢量。因此，此时需要编写向量

PQ

和切线向量

T

的两个分量

PQx = (1-t)^3 * P0.x + 3*t*(1-t)^2*P1.x  ... - P.x
PQy = (1-t)^3 * P0.y + ... - P.y
Tx = 3*(1-t)^2 * (P1.x - P0.x).... and so on
Ty = ....

并建立向量T和QP的点积方程（垂直向量的点积为零）：

现在打开括号，得到未知

t

的5次阶方程

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这种多项式方程没有封闭形式的解，所以需要某种数值解（使用那些用于多项式根的数值解）

您已经知道贝塞尔曲线的导数-它描述了曲线的切线。此切线应垂直于

QP

矢量。因此，此时需要编写向量

PQ

和切线向量

T

的两个分量

PQx = (1-t)^3 * P0.x + 3*t*(1-t)^2*P1.x  ... - P.x
PQy = (1-t)^3 * P0.y + ... - P.y
Tx = 3*(1-t)^2 * (P1.x - P0.x).... and so on
Ty = ....

并建立向量T和QP的点积方程（垂直向量的点积为零）：

现在打开括号，得到未知

t

的5次阶方程

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这样的多项式方程没有封闭形式的解，所以你需要某种数值解（使用那些用于多项式根的数值解）

我找到了一个解决我的问题的近似方法，这个方法是由谁根据关于贝塞尔曲线的思想实现的。如果你必须处理贝塞尔曲线，看看这个。这就解释了我在贝塞尔曲线上遇到的大多数问题

该算法的思想如下：

粗略估计：

通过插入B（t）中的不同Ti计算Qapprox，i（mbostock使用t1=0，t2=1/8，t3=2/8，…）

计算Qapprox、i和P之间的二次（保存一个平方根计算）距离

保存Qapprox、i和最近（距离最小）的ti

进行更精确的近似：

选择一个精度q

计算tbefore=ti-q

检查Qapprox，before=B（t之前）和P之间的距离是否小于Qapprox，i和P之间的距离，如果是，则设置Qapprox，i=Qapprox，before并从2开始（精确近似值），如果否，则继续

计算tafter=ti+q

检查Qapprox，after=B（tafter）和P之间的距离是否小于Qapprox，i和P之间的距离，如果是，设置Qapprox，i=Qafter并从2开始（精确近似值），如果否，继续

Qapprox，我是最接近的。如果精度足够好，就到此为止。如果不降低精度q（mbostock除以2），并在2（精确近似值）处重新开始

如前所述，这是一项执行计划。我 在这里粘贴代码，以防链接断开。这不是我自己的代码

var points=[[474276]、[586393]、[378388]、[338323]、[341138]、[547252]、[589148]、[346227]、[365108]、[562,62]；
可变宽度=960，
高度=500；
var line=d3.svg.line（）
.插入（“基数”）；
var svg=d3.选择（“正文”）.追加（“svg”）
.attr（“宽度”，宽度）
.attr（“高度”，高度）；
var path=svg.append（“路径”）
.基准（点）
.attr（“d”，行）；
var line=svg.append（“line”）；
var circle=svg.append（“circle”）
.attr（“cx”，-10）
.attr（“cy”，-10）
.attr（“r”，3.5）；
svg.append（“rect”）
.attr（“宽度”，宽度）
.attr（“高度”，高度）
.on（“mousemove”，mousemoved）；
//添加坐标显示
var coords=svg.append（“文本”）；
函数mousemoved（）{
var m=d3.鼠标（此），
p=闭合点（path.node（），m）；
行属性（x1，p[0]）。属性（y1，p[1]）。属性（x2，m[0]）。属性（y2，m[1]）；
圆.attr（“cx”，p[0]）.attr（“cy”，p[1]）；
coords.attr（“x”，“p[0]+m[0]）/2）.attr（“y”，“p[1]+m[1]）/2）.html（“Q”（“+Math.round（p[0]）+”，“+Math.round（p[1]）+”）；
}
函数闭合点（路径节点，点）{
var pathLength=pathNode.getTotalLength（），
精度=8，
最好的，
最佳长度，
最佳距离=无穷大；
//粗近似线性扫描
对于（变量扫描，扫描长度=0，扫描距离；扫描长度0.5）{