Graph theory 为什么欧拉路径可以在线性时间内实现，而不是哈密顿路径？

我了解到，尽管看起来很相似，但欧拉路径可以在线性时间内求解，而哈密顿路径问题是NP完全问题。我想知道造成这种差异的原因是什么？我不太懂图论，所以可能不会很好地理解严格的证明，但一些行话应该可以。

如果我们以无向图为例，如果图是连通的，并且只有两个奇数度的顶点（起点和终点），则存在欧拉路径。此路径只访问每条边一次。因此，欧拉路径的存在依赖于顶点度数，而不是实际的顶点数

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对于哈密顿路径，没有简单的必要条件（当然也没有多项式时间算法）。由于路径必须恰好击中每个顶点一次，“困难”的方法是检查所有顶点的排列，看看路径是否存在。

基本上，Euler问题可以用动态规划来解决，Hamilton问题不能

这意味着，如果你有一个子集的图形，并找到一个有效的循环路径通过它，你可以结合这个部分解决方案与其他部分解决方案，并找到一个全局有效的路径。最优路径并非如此：即使通过图的一小部分找到了最优路径，这也很可能不是全局最优路径的一部分（事实上，通常不是）。非正式地说，通过大型图的最佳路径取决于图中所有其他部分的精确值，因此没有人找到正确使用“分而治之”解决问题的方法。

事实上， 哈密顿路径的限制是你只需要访问一次边。但使用欧拉方法，您可能访问同一个顶点，有时访问方向相反的同一条边。但是，在大多数情况下，可以创建一个新顶点，但只可以添加一条边

Bellman，R.（1962），“旅行商问题的动态规划处理”，ACM杂志9:61-63，doi:10.1145/321105.321111

如果您只是查看这篇文章，就会看到一个图的动态编程实现（当然不是所有类型的图）。。还有一些HMM实现

Andreas（2010），“无向哈密顿性的行列式和”，Proc。第51届IEEE计算机科学基础研讨会（FOCS'10），第173-182页，arXiv:1008.0541，doi:10.1109/FOCS.2010.24

欧拉路径的好部分是；您可以得到子图（分支和绑定类似），然后得到总循环图。说实话，欧拉法主要是针对当地的解决方案

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希望这能有所帮助。

我想我现在已经很清楚了。但是你的意思是Euler路径是全局有效路径而Hamilton路径是最优路径吗？事实上，似乎有一个图的动态规划实现，参见我的答案..谢谢！但为什么欧拉路径存在必要条件，而哈密顿路径不存在必要条件？