Graph 二部连通图的证明

一位朋友向我提出了一个似乎是真的猜测，但我们谁也找不到证据。问题是：

给定一个连通的二部图，其不相交的非空顶点集U和V，使得| U |度（b）

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证明U中至少有一个顶点的度数高于V中的度数是很简单的，但是证明存在一对顶点，并且它们之间有一条边连接，这让我们很难理解。

用矛盾来证明它，即假设deg（a）≤ 摄氏度（b）∀（a、b）∈E、 其中E是图形的边集（按照惯例，第一个元素在U中，第二个元素在V中）

为了F⊆E、 通过V（F）指定可通过边集F到达的V的子集，即：

V（F）={b |（a，b）∈F}

现在按如下所示构建一个edgeset F：

F = empty set
For a ∈ U:
    add any edge (a,b)∈E to F
Keep adding arbitrary edges (a,b)∈E to F until |V(F)| = |U|

得到的集合V（F）与U中的所有节点相连，因此根据我们的假设，我们必须

∑A.∈U度（a）≤ ∑B∈V（F）度（b）

但是，由于| U |=| V（F）|和| U | 0，所以我们得到

∑A.∈U度（a）<∑B∈V度（b）

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这是不可能的；这对于二部图应该是一个等式。

对于任何边e=（a，b）和a∈U和b∈五、 设w（e）=1/deg（b）-1/deg（a）。对于任何顶点x，与x入射的所有边上的1/deg（x）之和等于1，因为存在deg（x）这样的边。因此，所有边e上w（e）的和等于| V |-| U |。因为| V |-| U |>0，对于som边e=（a，b），w（e）>0，这意味着deg（a）>deg（b）。

如前所述，这是非常错误的（因为可以选择U为空）。你的U和V应该覆盖图，并且没有内部边吗？是的，对不起，U和V是使图二分的集合。它们包含所有顶点，并且没有内部边。我编辑以使其更清楚。