Haskell 为什么'；t反函数隐含同构

假设我有两个函数名为

f:：a->b

，它的逆函数是

g:：b->a

，因此

f。G≡ id

现在不是

g。F≡ id

？（因此意味着同构）

我试着写一个类似的例子，并得出如下结论：

myRead :: String -> Int
myRead = read

myShow :: Int -> String
myShow = show

在ghci中：

λ> myRead . myShow $ 3
3
λ> myShow . myRead $ "33"
"33"

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但看起来，这是一个错误。有人能告诉我我做错了什么吗？

这是一个非常简单的例子。如果

A

是集合

{1,2}

和

B

是集合

{1}

，则功能：

f :: A -> B
f = const 1

g :: B -> A
g 1 = 1

具有

f的关系。g=id

但不是关系

g。f=id

。一个反例是

g (f 2) = 1

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结果是，如果你有两个函数，

f。g=id

和

g。f=id

那么这就说明了这些函数的域和密码域。特别是，它建立了一个同构，这表明这两个域在某种意义上是等价的

从范畴论的角度来看，这意味着它们通过范畴的态射是无法区分的。范畴理论强调范畴的态射是获取对象信息的唯一途径，因此这种不可区分性非常重要

当你只有单面逆时，你仍然在学习很多关于这两个领域的知识。。。但并不是说它们是同构的

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单侧逆的一个结果是幂等元。幂等元是从一个域到它自身的一个函数

i

（自同态），这样

i。i=i

。给定

f的任意两个函数。g=id

，

g。f

是一个幂等元，证明非常明显：

i . i = (g . f) . (g . f) = g . f . g . f = g . (f . g) . f = g . f = i

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另一个需要考虑的好问题是，每个函数

f:：A->B

都会生成“反向映像”函数

inv f:：B->（A->Bool）

在更数学的术语中，逆图像函数是从编码域

B

到域

a

的子集的映射，使得

a

的每个这样的子集中的每个元素映射到

B

的相同元素。这些子集划分为

A

（这是函数的定义）

如果我们有另一个函数

g:：B->A

，使得

gb

在子集

inv fb

中（即

inv fb（gb）==True

表示所有

B

），那么我们有

f . g == id

但这远比同构的

A

和

B

弱得多，技术性也强得多。这只意味着

g

正在将

B

的元素发送到

A

的子集，而

f

将立即发送回

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例如，它接受了一个关于空间的完整有趣的概念。

如果

g:：X->Y

是满射的，那么就不一定有一个反函数

f:：Y->X

。然而，满射函数

g

可以反转某些函数

f

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假设对于

y

中的每个

y

，在

x

中都有一个唯一的值

x

，该值是

f

找到的。可以指定一个函数

g

，对于

x

中的每个

x

，在

y

中找到

y

，从而

g。f==id

。此语句显示所有

y

都存在唯一的

x

，但这并不说明所有

x

都存在唯一的

y

（即不保证唯一性）。（我甚至没有提到

g

是如何构建的——你需要选择公理）。

用你自己的例子，

myRead。秘秀≡ id

，但是

(myShow . myRead) "0xFF" = "255"

所以

myShow。myRead≢ id

，您也可以通过计数参数看到这一点：

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类型

Int

有有限多个值，而

String

有无限多个值，因此虽然可以从

Int

到

String

再返回，但从无限类型

String

到有限类型

Int

必须放弃信息，因此，您不能总是返回原始字符串，因此不可能在

Int

和

string

之间构造同构。请考虑将

Float

和

Int

相互转换。因此，您本质上是通过

B

中的映射来修改

A

的元素，也就是说，如果

A

的两个元素在

B

中的图像相等，则认为它们相等，这就产生了一个微不足道的同构。这和纤维化有什么关系？我还不认为它们相等，但是，任何函数的逆映像都会产生其域的分区。分区形成等价关系，然后您可以考虑当将分区的等价关系作为事实时域发生了什么。这称为商集。纤维化是一种特殊情况，其中每个分区共享相同的形状，这将域划分为一束“纤维”。哦，是的！如果你在辅酶域的逆映像下取域的商群，那么商群是内射到辅酶域的。虽然在我的

g

条件中默认地处理了A，但我省略了谈论A不能映射到所有B的函数。如果你最后注意到A是这个商的满射，你就会得到正则分解定理：所有函数都可以分解成满射、同构和注入（对于一些ppl来说，这可能更容易用图片）

(myShow . myRead) "0xFF" = "255"