Haskell 没有本机类型的数字的最有效表示是什么？

在Haskell上，大多数数字类型都是原生的-Int、Float、Word32等。还有一种仅使用ADT的一元自然数的流行表示法-即Peano编码：

data Nat = Succ Nat | Zero

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这种数据类型虽然优雅，但效率不高。乘法、幂运算、一元数除法都是不切实际的。我的问题是：如果我们没有本地类型可以依赖，那么在Haskell这样的纯函数语言中，最有效的数字表示法是什么？数据类型和各自的算法是什么样的？

Leftaroundabout已经对术语“最有效”的模糊性进行了评论，特别是在提到Haskell和ghc时。如果您真正想问的是，“在支持ADT（代数数据类型）的语言中，使用ADT（代数数据类型）对数字进行更有效的编码可能是什么样子的？”，那么我会向您指出，在这里，您可以练习定义自然数的二进制表示

书中的一段话：

练习：三星（双星）

考虑一种不同的、更有效的自然数表示法 使用二进制而不是一元系统。也就是说，而不是说 每个自然数要么是零，要么是一个自然数的后继数 数字，我们可以说每个二进制数是

• 零,
• 一个二进制数的两倍
• 或者一个二进制数的两倍以上

（a） 首先，写出对应类型bin的归纳定义 这是对二进制数的描述

（提示：回想一下类中nat的定义

Inductive nat : Type :=
  | O : nat
  | S : nat → nat.

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正如@Cirdec已经评论的那样，这个问题对于编程语言没有意义，它只对特定的编程问题有意义

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例如，如果你需要精确的数字，你可能想用连分数来表示有理数。这对于簿记来说可能是次优的。

这在很大程度上取决于你想用数字做什么，以及什么是最有效的

如果你想表示一个自然数n，你需要logn位的信息。由于一个ADT只能有有限多个不同的构造函数，它编码有限数量的位，所以你需要至少有logn个节点的结构

我非常推荐Chris Okasaki（该论文在线提供）中的数字表示章节。它描述了各种树状数据结构，支持不同的运算集，以及它们与自然数的关系。下面的内容是我从这本书中学到的

扩展Cirdec的评论：您可以定义

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Add Positive Positive

这就得到了O（1）的加法和减法。另一方面，结构的大小将是O（n）

您可以使用带有O（logn）空间的二进制表示法，但随后的加法将是O（logn）：

增量和减量几乎都是O（1）。一系列增量只会在每2^d次操作中到达深度d，因此平均而言，每个增量都是O（1）。类似于decerements。我在上面说过几乎，因为如果你交换增量和减量，那么你可以在O（logn）之间切换递增和递减操作。解决方法是添加一些冗余：

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Twice Positive | TwicePlusOne Positive | TwicePlusTwo Positive

现在，每次操作需要更深一层时，它都会将当前节点留在

TwicePlusOne

，这意味着影响节点的下一个操作将在该节点处停止，而不管它是递增还是递减

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如果您想要恒定时间加法，则可以为此扩展数据结构（在书中查找具有有效链接的列表），但您也可以使用O（n）结束内存，如果操作顺序不好。有一个开放的SO问题，询问是否可以同时获得这两个值。

两个注释：1.我知道一个明显的解决方案是将数字表示为布尔值列表，并模拟浮点/整数算法-但这是最有效的吗？2.我想这个问题有点广泛，完整的答案是可能的太长了，所以很明显我没有要求完整的实现。只要关键的见解和指针就好了。“最有效”在什么方面？我不认为有任何方法可以给出一个普遍的客观标准，所以或多或少可以归结为“GHC中最有效的是什么”。但答案是，任何编译为标准本机算术的等价物。非常确定，这在不显式使用本机类型的情况下都是可能的。因此，虽然我喜欢这个问题的想法，但我认为没有合适的答案。这在很大程度上取决于您正在执行的操作。数据类型

data N=OnePlusSum N N | Zero

可以非常好地解决一些问题：它对

N+1

、

N+m+1

以及检查数字是否非零都有

O（1）

操作。如果需要除以2或减去1，它就做不好。

data N = Zero | Positive
data Positive = One | Twice Positive | TwicePlusOne Positive | TwicePlusTwo Positive