树与否（Haskell类型理解）

在“Haskell的温和介绍”中，我们对树的类型进行了这样的声明：

data Tree a = Leaf a | Branch (Tree a) (Tree a)
     deriving (Eq,Ord,Show,Read)

让我们制作一些这种类型的值：

a1 = Leaf 1
a2 = Leaf 2
a3 = Leaf 3
a4 = a1 `Branch` a2
a5 = a2 `Branch` a3
a6 = a4 `Branch` a5

在ghci中：

*Main> :t a6
a6 :: Tree Integer

但是

a6

根本不是树，请参见：

      a6
     / \
   a4   a5
  / \  /  \
a1   a2    a3

这张图中有一个循环！ 怎么了？树的类型定义正确吗？

---

或者，在理解这个例子的过程中，我没有发现一些错误…

简单的回答是，从概念上来说，

a2

“是一个

树a

，而不是对

树a

的引用。从这个意义上说，

a6

看起来确实像

          a6
       /      \
     a4        a5
    /   \    /    \
  a1   a2   a2    a3

也就是说，树中有两个

a2

的“副本”

实际上，由于所有值都是不可变的，因此实现可以使用相同的内存来表示

a4

的右子级和

a5

的左子级，但这两个节点在

树a

类型表示的抽象级别上保持不同

---

为了真正有一个循环，需要有一种能够从

a2

到达

a4

和

a5

的概念，并且这种类型不提供任何这样的子到父链接的表示，这使得我们无法判断

a4

的左子节点和

a5

的右子节点是同一个节点，还是两个看起来完全相同的不同节点。对于这种数据类型，根本不存在区别。

我们应该区分表达式的值和它的内存表示形式

例如，这两个表达式具有相同的值：

事实上，在Haskell中，无法区分上述表达式的计算结果。它们在语义上是等价的

Haskell实现（例如GHC）可以自由地在内存中以任何不破坏语义的方式表示这些值。例如：

它可能会在内存中存储两次字符串

“Hello”

，然后使用一对指针

（p1，p2）

它可能将字符串

“Hello”

存储在内存中一次，然后使用一对指针

（p，p）

请注意，理论上，这两种表示都可以用于上述表达式

e1、e2

中的任何一种。实际上，GHC将前者用于

e2

，后者用于

e1

，但这并不重要

在你们的树中，同样的问题也出现了。您的

a6

的值是一个树。GHC可能将该树表示为非树DAG（即，如果转换为无向图，则有一个循环的DAG），但这并不重要，它只是一个实现细节。重要的方面是，这种表示尊重树的语义

人们可能会想，如果值是树，为什么DAG表示是合理的。这是因为在Haskell中，我们无法比较GHC使用的底层“引用”

p

。如果我们有一个比较这些引用的函数

comparePtr:：a->a->Bool

，我们可以通过使用

comparePtr（fst e）（snd e）

来区分

e1

，

e2

之间的

e

。这将严重破坏执行的可靠性。不过，在哈斯凯尔，我们没有这种情况

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（从技术上讲，有一个

不安全的

函数可以做到这一点，但是

不安全的

函数永远不应该用在“正常”代码中。我们通常假装这些函数不存在。）

它不是树或非树，因为一张纸上的图片暗示了这一点。为什么你认为你可以在图片中只使用一次a2？如果您更改程序，使所有节点都包含数字42，您会绘制42一次还是4次？内置数据类型和用户定义数据类型之间没有实质性差异，因此42与Leaf 42处于同等地位。为了证明这不是一棵树，您需要生成一个Haskell程序来检测这个“循环”。而你就是不能。Haskell的语义不允许这样的程序存在。非常感谢，伙计们！我现在明白我的误解是什么了！DAG中的A是“非循环的”——你不是说它是一个有循环的DAG，而是一个节点有两个父节点的DAG。它的内存表示可能不是一棵树，但它的语义值当然仍然是一棵树，正如您所说。无论如何，他们都没有一个循环。@amalloy说得对。我的意思是，当DAG转换成无向图时，它有一个循环。我使用了“循环”一词，因为OP在问题中是为了同一个概念，所以为了让OP更容易理解，我将添加更多细节。

e1 = ("Hello", "Hello")
e2 = let s = "Hello" in (s, s)