如何证明Isabelle/HOL中反函数的存在性？

我试图证明以下关于双射函数反函数存在性的基本定理（学习Isabelle/HOL定理证明）：

对于任意集S及其单位映射1_S，α：S→T是双射iff 存在一个映射β：T→使得βα=1μS和αβ=1μS

以下是我在尝试定义相关事物（包括和）之后所得到的信息。但由于我对Isabelle和/或Isar缺乏了解，我陷入了困境，无法取得多大进展

theory Test
  imports  Main 
    "HOL.Relation"
begin

    lemma bij_iff_ex_identity : "bij_betw f A B ⟷ (∃ g. g∘f = restrict id B ∧ f∘g = restrict id A)" 
      unfolding bij_betw_def inj_on_def restrict_def iffI 
    proof
      let ?g = "restrict (λ y. (if f x = y then x else undefined)) B"
      assume "(∀x∈A. ∀y∈A. f x = f y ⟶ x = y)"
      have "?g∘f = restrict id B"
      proof
      (* cannot prove this *)

end

在上面，我试图给出一个明确的存在见证（即原始函数

f

的逆函数

g

）。关于证据，我有几个问题

在Isabelle术语中，概念的定义是否正确（函数、反函数等）

如何扩展相关定义，然后使用函数应用程序简化它们。我已经学习了一些Isabelle（2021）关于应用样式simp和结构化样式Isar证明的示例/教程，但无法流利地使用Isar证明。一旦我启动了“证明”命令，我就不知道如何继续保持沉默

Isar有一种新的方式，即

假设。。。显示用于说明定理的…

。是否有类似的支持来证明iff（

⟷）如上面的示例所示？没有它，就无法访问
assms
等，并且有必要
假设
除了证明过程中的结论之外的一切

有人能解释一下上面关于反函数的存在性证明是如何完成的吗

引理bij_iff_ex_恒等式：“bij_betw f A B⟷ (∃ g、 g∘f=限制id B∧ F∘g=限制id A）“

我想这不是你想要的，我怀疑这是真的<代码>g∘f=限制id B并不意味着

g∘f

和

id

在

B

上相等。这意味着总功能

g∘f

（HOL中只有total函数）等于total函数

restrict id B

。后者在

x上返回
id x
∈B

和

未定义

否则。因此，为了实现这一等式，

g

需要在

f

的输入不在

B

时输出

undefined

。但是

g

怎么会知道呢

如果要使用

restrict

，可以编写

restrict（g∘f） B=限制id B

。但就我个人而言，我宁愿选择更简单的

(∀x∈B.（g）∘f） x=x）

因此，修正后的定理是：

引理bij_iff_ex_恒等式：“bij_betw f A B⟷ (∃ g(∀x∈A.（g）∘f） x=x）∧ (∀Y∈B.（f）∘g） y=y））“

（顺便说一句，这仍然是错误的，正如quickcheck在Isabelle/jEdit中告诉我的，请参阅输出窗口。如果

A

有一个元素，而

B

为空，

f

不能是双射。因此，您尝试的定理实际上在数学上是不正确的。我不会尝试修复它，只回答其余的几行

展开bij_betw_def inj_on_def restrict_def iffI

此处的

iffI

无效。展开只能应用

A=B

（无条件重写规则）形式的定理。

iffI

不是那种形式。（使用

thm iffI

查看。）

证明

就我个人而言，我不使用裸露的形式

proof

，但总是

proof-

或

proof（某些方法）

。因为

proof

只是应用了一些默认方法（在这种情况下，相当于

（规则iffI）

，因此我认为最好是将其明确化。

证明-

只是开始证明，而不应用额外的方法

let？g=“restrict（λy.（如果fx=y，则x未定义））B”

这里有一个未绑定的变量

x

（注意IDE中的背景色）。这很可能不是您想要的。从形式上讲，这是允许的，但是

x

将被视为某个任意常量

一般来说，我不认为有任何方法可以简单地定义

g

（即，仅使用量词和函数应用程序，以及if-then-else）。我认为定义逆的唯一方法（即使你知道它存在）是使用

操作符，因为你需要说
gy
是“the”
x
这样
fx=y
（随后在证明中，您将遇到证明义务，证明它确实存在并且是唯一的。）请参见
Hilbert\u Choice.thy中
inv to
的定义（除了它使用
一些
而不是
该
）.对于初学者，可以尝试使用现有的
inv_into
常量进行验证

假设”(∀x∈A.∀Y∈A.f x=f y⟶ x=y）“

所有的
假设
命令都必须与验证目标中的假设完全相同。您可以通过临时编写命令
为
显示A来测试您是否编写正确（这是一个无法验证的目标，但会完成验证，因此它会诱使Isabelle检查是否正确）。如果此命令未给出错误，则说明
假定
s是正确的。如果您没有给出错误，则应为
(∀x∈A.∀Y∈A.f x=f y⟶ x=y）∧ f'A=B
（'是这里的反勾符号。标记不允许我写它。）

我的建议是：先用
bij
而不是
bij\u betw
来验证。（如果你想作弊，一个方向是BNF\u Fixpoint\u Base.o\u bij。）
一旦完成，您可以尝试概括

引理bij_iff_ex_恒等式：“bij_betw f A B⟷ (∃ g、 g∘f=限制id B∧ F∘g=限制id A）“

我认为这并不是你想要的，我怀疑这是真的∘f=限制id B"bij_betw f A B ⟷ (∃g. (∀x ∈ A. f x ∈ B ∧ g(f x) = x) ∧ (∀y ∈ B. g y ∈ A ∧ f(g y) = y))"

lemma bij_betw_iff:
  shows "bij_betw f A B ⟷
    (
      ∃g.
        (∀x. x∈A ⟶ g (f x) = x) ∧
        (∀y. y∈B ⟶ f (g y) = y) ∧
        f ∈ A → B ∧
        g ∈ B → A
    )"
sorry