Java 在正弦多项式近似中，这些系数是如何确定的？

背景：我正在用Java编写一些几何软件。我需要Java的BigDecimal类提供的精度。因为BigDecimal不支持trig函数，所以我想看看Java是如何实现标准数学库方法的，并编写我自己的支持BigDecimal的版本

通过阅读，我了解到Java使用“来自著名网络库netlib”的算法作为“可自由分发的数学库”fdlibm包。这些算法是用C编程语言编写的，可以理解为所有浮点运算都是按照Java浮点算术规则执行的

我的问题：我查了fblibm的sin函数，看起来他们使用了13阶泰勒级数来近似正弦（edit-njuffa评论说fdlibm使用了极大极小多项式近似）。代码将多项式的系数定义为S1到S6。我决定检查这些系数的值，发现S6只对一个有效数字正确！我希望它是1/（13！），Windows计算器告诉我是1.6059044…e-10，而不是1.58969099521155010221e-10（代码中S6的值）。甚至S5在第五位也与1/（11！）不同。有人能解释这种差异吗？具体而言，这些系数（S1到S6）是如何确定的

/*@（#）k#u sin.c 1.3 95/01/18*/
/*
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*
*由Sun Microsystems，Inc.业务部门SunSoft开发。
*使用、复制、修改和分发此文件的权限
*软件是免费授予的，前提是本通知
*它被保存了下来。
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*/
/*内核（x，y，iy）
*[-pi/4，pi/4]，pi/4~0.7854上的核sin函数
*假设输入x的大小为~pi/4。
*输入y是x的尾部。
*输入iy指示y是否为0。（如果iy=0，则y假设为0）。
*
*算法
*  1. 由于正弦（-x）＝-SIN（x），我们只需要考虑正X。
*  2. 如果x<2^-27（hx，我们可以使用trig恒等式将所有值降到0≤x≤π/4，然后需要一种方法来近似该区间上的sinx≤x≤2-27，我们可以坚持sinx≈x（泰勒多项式也会给出，在双精度公差范围内）

不使用泰勒多项式的原因在算法注释的步骤3中。泰勒多项式给出（可证明）接近零的精度，但当你远离零时，精度会降低。当你达到π/4时，13阶泰勒多项式（除以x）不同于（sin x）/x乘以3e-14。这比fblibm的误差2-58差得多。为了用泰勒多项式得到精确的结果，你需要一直到（π/4）n-1/n！<2-58，这需要另外2或3个项

那么为什么fblibm满足于2-58的精度呢？因为这已经超过了双精度（尾数中只有52位）的容差

然而，在你的例子中，你需要任意多个sinx位。要使用fblibm的方法，你需要在你想要的精度改变时重新计算系数。你最好的方法似乎是坚持泰勒多项式为0，因为它非常容易计算，并且取项直到（π/4）n-1/n！满足您所需的精度

njuffa有一个有用的想法，即使用身份进一步限制您的域。例如，
sin（x）=3*sin（x/3）-4*sin^3（x/3）
。使用此方法可以将您的域限制为0≤x≤π/12。您可以使用它两次，将域限制为0≤x≤π/36。这将使泰勒展开式更快地获得所需的精度。我建议将π四舍五入到4，直到1/n！满足所需精度（或3-n/n！或9-n/n！，如果您使用过一次或两次trig恒等式），而不是尝试为（π/4）n-1/n！获得任意精确的π值.
Freefall 83 1+。这是一个很难回答的问题，我很想看看答案。这可能是（比如）切比雪夫多项式近似值，而不是泰勒多项式。我无法解释您指出的差异。但请注意，S6乘以x^13，最多约为0.04（即10^-2阶）.S6本身是10^-10阶。这意味着S6术语的贡献是10^-12阶。这真的开始提高双精度。当然，这并不能证明这种差异是合理的，但它确实让您了解问题的严重性。@JSQuareD同意。这是一个好问题。很高兴看到答案。@freefall83 fdlibm使用minimax多项式近似，其误差小于简单的泰勒近似。有关minimax近似，请参阅Wikipedia条目。对于任意精度计算，可通过使用多角度公式（如sin 5x=5 sin x-20 sin³x）进一步限制正弦函数近似的输入域+16罪⁵ x、 Minor：在其“尾数”中有53位（不是52位）（52显式存储。1隐含）@Teepeemm注意，我特别建议使用基于sin 5x的标识，以避免在使用十进制格式（如BigDecimal）时，在参数缩减期间除法中出现舍入错误@njuffa我对BigDecimal的内部结构一点也不熟悉。它是以10为基数存储东西，这样除以5就可以了？还是以二进制形式存储东西，这样除以5就可以得到无穷大的小数？@Teepeemm问得好。我不使用Java，可能被名称
BigDecimal
误导，认为它存储了数据库10**n，例如一些合适的n值。我不知道实现细节。我想在不知道
BigDecimal
的实际编码的情况下，最小化舍入误差的最安全方法可能是
/* @(#)k_sin.c 1.3 95/01/18 */
/*
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 *
 * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice 
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

/* __kernel_sin( x, y, iy)
 * kernel sin function on [-pi/4, pi/4], pi/4 ~ 0.7854
 * Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
 * Input y is the tail of x.
 * Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0). 
 *
 * Algorithm
 *  1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x. 
 *  2. if x < 2^-27 (hx<0x3e400000 0), return x with inexact if x!=0.
 *  3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
 *     [0,pi/4]
 *                   3            13
 *      sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
 *     where
 *  
 *  |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
 *  |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
 *  |  x                               | 
 * 
 *  4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
 *          ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
 *     For better accuracy, let 
 *           3      2      2      2      2
 *      r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
 *     then                   3    2
 *      sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
 */

#include "fdlibm.h"

#ifdef __STDC__
static const double 
#else
static double 
#endif
half =  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
S1  = -1.66666666666666324348e-01, /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
S2  =  8.33333333332248946124e-03, /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
S3  = -1.98412698298579493134e-04, /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
S4  =  2.75573137070700676789e-06, /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
S5  = -2.50507602534068634195e-08, /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
S6  =  1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */

#ifdef __STDC__
    double __kernel_sin(double x, double y, int iy)
#else
    double __kernel_sin(x, y, iy)
    double x,y; int iy;     /* iy=0 if y is zero */
#endif
{
    double z,r,v;
    int ix;
    ix = __HI(x)&0x7fffffff;    /* high word of x */
    if(ix<0x3e400000)           /* |x| < 2**-27 */
       {if((int)x==0) return x;}        /* generate inexact */
    z   =  x*x;
    v   =  z*x;
    r   =  S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
    if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
    else      return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}