Java 快速排序分区算法在分区方法中定义的循环不变量

我在快速排序算法中实现了分区方法，但我不知道它是否满足给定给我的循环不变量

    public class qs {
      private qs(){}

/**
 * Sort an array in ascending order
 * @param arr array to sor  */
   public static void quickSort(int[] arr){
    qs(arr, 0, arr.length);
        }

/**
         * Sort a region of an array in ascending order.
         * Elements outside the given region are unchanged.
         * requires: 0 <= start <= end <= arr.length
         * @param arr   array to sort
         * @param start start of region (inclusive)
         * @param end   end of region (exclusive)
         */
        private static void qs(int[] arr, int start, int end){
            if (end <= start+1){    //region of length 0 or 1
                return;
            }
            int x = arr[start];
            int p = partition(arr, start+1, end, x);
                //now swap arr[start] with arr[p-1]
            arr[start] = arr[p-1];
            arr[p-1] = x;
            qs(arr, start, p-1);
            qs(arr, p, end);



        }

        /**
         * Partition a region of an array.
         * Rearranges elements in region so that small ones
         *   all have smaller indexes than the big ones.
         * Elements outside the region are unchanged.
         * requires: 0 <= start <= end <= arr.length
         * @param arr   array to partition
         * @param start start of region (inclusive)
         * @param end   end of region (exclusive)
         * @param x     pivot - "small" and "big" are <x, >=x.
         * @return      start index (inclusive) of big elements
         *              in region after partition.
         */
        private static int partition(
            int[] arr, int start, int end, int x)
        {

            int l = start-1 ;
            int r = end;
            while (true) {
                while(++l< r && arr[l] < x);

                    while(r-- > l && arr[r] > x);// find smaller item

                    if(l >= r) // if pointers cross,
                        break; // partition done
                        else  {
                        int temp;
                    temp = arr[l];
                    arr[l] = arr[r];
                    arr[r] = temp;
                }
            }
            return l;
            }


        public static void main(String[] args) {
            int[] a = {15,8,4,8,9,6,4,1,2,5,6,4};
            quickSort(a);
            for (int i = 0; i < a.length; i++){
                System.out.print(" "+a[i]);
            }
        }
    }

公共类qs{
私有qs（）{}
/**
*按升序对数组排序
*@param arr数组到sor*/
公共静态void快速排序（int[]arr）{
qs（arr，0，arr.length）；
}
/**
*按升序对数组的区域进行排序。
*给定区域之外的元素不变。
*要求：0除了一个问题外，您的代码应该可以工作。您选择的轴是数组的起点，而不是数组的中点。因此，请改为

        int x = arr[start];

你最好把它分配给

        int x = arr[(start + end)/2];

你的代码必须工作。
我仍然不清楚实际问题是什么…？你有理由相信它不工作吗？@user1795732为了清晰起见，你能在你的问题的某个地方陈述循环不变量吗？/*不变量*开始这是不变量，我不知道我关于分区方法的答案是否满足它我知道它工作，但是也应该满足不变量，我不知道关于划分方法的不变量是否满足，或者至少如何识别它满足。/*不变量*开始