在lambda演算中，若将表达式应用于非函数表达式会怎么样？

我不熟悉Lambda微积分。 我已经读到了

lambda表达式集∧可归纳定义为：

如果x是一个变量，那么x∈ ∧

如果x是一个变量，M∈ ∧，那么（λx.M）∈ ∧

如果M，N∈ ∧，那么（mn）∈ ∧

规则2的实例称为抽象，规则3的实例称为应用程序

当M是一个函数抽象时，我知道规则2的含义，即（λx.E）的形式

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但是当M不是一个函数时，它的含义是什么？例如，只有变量x或非函数表达式x+y

Lambda演算包含在上下文无关语法中

E ::= v        Variable
   |  λ v. E   Abstraction
   |  E E      Application

式中，

v

在变量范围内，以及beta和eta减少规则

(λ x. B) E  ->  B   where every occurrence of x in B in substituted by E
  λ x. E x  ->  E   if x doesn't occur free in E

a

在

λb中是自由的。b a

，但不在

λa中。λb。b a

。两种归约规则均不适用的表达式为标准形式

因此，如果

mn

不是beta-redex

（λx.B）E

，并且

M

和

N

都是正规形式，那么

mn

整体是不可约正规形式。

因此，当M是函数时，（mn）的含义对你来说是清楚的。 让我们考虑身份的情况，为简单起见，即m＝i= \x.x.

                          (*)    (\x.x) N 

这减少到N。 假设现在您希望使程序更通用一些。你 不希望仅将标识应用于N，而是应用泛型函数 f作为输入。因此，将\x.x替换为f并抽象 全期水渍险：

                                 \f.f N

必须理解为\f.（fn）。很简单

现在可以将标识作为参数提供给上一个术语，以获得 相当于（*）的术语：

为了使事情更加复杂，您可以想象处理您的输入 函数f，然后再将其应用于N。例如，如果您希望使用二进制 （currified）函数作为输入，您可能希望将f应用于“对”参数（N，N），因为f是currified的，所以等于将N作为参数传递两次：

                        (**)    \f. f N N

要理解为\f。（（f N）N）。因此，您清楚地看到了让应用程序处于其他应用程序的功能位置的意义

要查看前面的示例，请使用术语K=\x.\y.x，而不是标识。K接受两个论点 ad返回第一个。如果将K作为前一个术语的输入，则仍然会得到一个与（*）等价的术语

一般来说，编程语言是提供抽象的一种方式。 对一个概念进行抽象，首先需要一种给出的方法 概念实例的名称。例如，在命令式语言中，变量本质上是存储单元的抽象。 要对函数进行抽象，您需要使用 函数的名称。 第二步，允许概念“可表达”，即 提供一种允许动态合成的表达式语言

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给定概念的新实例（在本例中为新函数）。lambda演算只是一个核心演算，其中函数是（直接）可表达的

x+y

不是lambda表达式，因此不会发生这种情况。请参阅。如果M是一个变量，则表达式不能进一步缩减（除非另一个beta缩减用抽象替换该变量）。

                        (**)    \f. f N N

                       (\f.f N N) K = K N N = N