Python 使用NumPy编写函数，以计算具有特定公差的积分

我想编写一个自定义函数，以数字方式将表达式（python或lambda函数）与特定的容差进行集成。我知道使用

scipy.integrate.quad

可以简单地更改

epsabs

，但我想自己用numpy编写函数

从我了解的功能：

def integrate(f, a, b, N):
    x = np.linspace(a+(b-a)/(2*N), b-(b-a)/(2*N), N)
    fx = f(x)
    area = np.sum(fx)*(b-a)/N
    return area

---

给出了N段的数值积分。如何编写另一个函数或扩展此函数以获取

tol

输入并增加N，直到两个后续计算之间的差值小于给定的公差？

使用您拥有的函数，可以从合理的N开始，例如5，并将数字加倍，直到达到所需的精度

def integrate_tol(f, a, b, tol):
    N = 5
    old_integral = integrate(f, a, b, N)
    while True:
        N *= 2
        new_integral = integrate(f, a, b, N)
        if np.abs(old_integral - new_integral) < tol:
            return (4*new_integral - old_integral)/3
        old_integral = new_integral        

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不能保证错误确实小于

tol

（但同样，

scipy.quad

也不能保证）。在实践中，由于我使用的技巧，误差将比tol小得多：返回值

（4*new\u integral-old\u integral）/3

通常比新的或旧的近似值本身更精确。（说明：由于

integrate

使用了中点规则，N的每一倍都会减少大约4倍的误差。因此，采用组合

4*new_integral-old_integral

几乎可以抵消这两个结果中的残余误差。）

---

（备注：在while循环中，从N=1开始是不明智的；这可能不够，而且由于一些数值上的巧合，例如函数在很多地方为零，过早停止的风险更高。）

干得好。我认为我们也可以计算一些随机N的积分，然后考虑Int（N）渐近线的函数，我们可以拟合一个S形函数（例如erf）来估计正确的N以获得正确的公差。你怎么想？没有一种数值积分方法，在没有对函数的某些假设（如导数边界）的情况下，可以保证误差边界。如果错误界限很重要，那么从读取开始。拟合具有超指数衰减的erf在这里没有意义。

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