Python 求（N！）^2的除数

我试图解决问题，我将其简化为： 求N的除数^二,

我编写了我的解决方案，我把它作为一个答案放在这里，因为我没有被指责没有做任何工作，它对大数字也能正常、快速地工作，但是由于超时，它没有通过所有测试，我认为我的算法效率不高

以下是我的想法概要：

任何数字都可以表示为a0^b1*a1^b1*..*an^bn，其中有1+b1*1+b2*..*1+bn除数 那么M^2将有1+2b1*1+2b2*..*1+2bn除数 创建一个函数，用于查找数字的所有因子并将它们保存为hashmap 有一个函数，通过添加相应键的值来组合两个哈希映射 使用这两个函数迭代从2到n的所有数字，以获得阶乘的所有除数 使用1中的函数。得到答案 我认为这个解决方案相当有效，但似乎有更好的方法。

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有谁能给我推荐一个更好的方法吗？

你的问题有一个简单有效的解决方案。注意n！是:

让我们想想一个主要因素在这个产品中出现了多少次，例如2。 每2个因素出现一次。但每四个因素中就有一个会出现两次。每8个因素出现一次三次等。 换句话说，因子2将出现在n中！sumn//2**e代表范围1中的e，n次。对于任何素因子k也是如此

您可以通过以下方式实现此计算：

import itertools as it

def exp_for_factor_in_factorial(factor, n):
    total = 0
    for e in it.count(1):
        if factor ** e > n:
            break
        total += n // factor**e
    return total

现在，为了找到n的所有素因子！我们需要找到n以下的所有素数，这很容易用埃拉托斯烯实现：

import math

def sieve(n):
    nums = [True] * (n+1)
    nums[:2] = [False]*2
    nums[4::2] = [False] * math.ceil((n-3)/2)
    for i in range(3, int((n+1)**.5)+1, 2):
        if nums[i]:
            for j in range(i*i, n+1, 2*i):
                nums[j] = False
    return [i for i,k in enumerate(nums) if k]

这使得我们可以得到n的因式分解：

最后，要计算因式分解的除数，可以使用前面提到的公式：

import operator as op
from functools import reduce

def get_num_divisors(factorization):
    return reduce(op.mul, (e+1 for _, e in factorization), 1)

因此，最终的答案是：

def divs_of_squared_fact(n):
    return get_num_divisors((p, 2*e) for p, e in get_factorization_factorial(n))

请注意，此解决方案的性能远远高于您的：

In [41]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divs_of_squared_fact(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 276 ms per loop

In [42]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divisorsOfFactorialSquare(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 7.89 s per loop

它能够产生5000个除数^大约2毫秒内完成2次，而另一次几乎需要半秒：

In [47]: %timeit divs_of_squared_fact(5000)
100 loops, best of 3: 2.07 ms per loop

In [48]: %timeit divisorsOfFactorialSquare(5000)
1 loops, best of 3: 439 ms per loop

---

事实上，答案具有不同的渐近复杂性，因此当增加参数时，差异会无穷大。

对于此类问题，您可能会在@Vektor88上找到更好的答案。我考虑过这个问题，也考虑过代码审查，但我相信这是一个更好的地方。我不是反对者，但我真的认为，当涉及到性能或复杂性时，CS是一个更好的地方。但这只是一个建议。你肯定比我更了解和使用这个网站：谢谢你花时间写下这个详细的解释。解释和实现非常出色。

In [41]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divs_of_squared_fact(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 276 ms per loop

In [42]: %%timeit
    ...: for i in range(2, 1000):
    ...:     x = divisorsOfFactorialSquare(i)
    ...: 
1 loops, best of 3: 7.89 s per loop

In [47]: %timeit divs_of_squared_fact(5000)
100 loops, best of 3: 2.07 ms per loop

In [48]: %timeit divisorsOfFactorialSquare(5000)
1 loops, best of 3: 439 ms per loop