Matlab和Python中fmin和fminsearch结果的差异

我的目标是对一些衰变数据（通过CPMG的核磁共振T2衰变）执行逆拉普拉斯变换。为此，我们提供了CONTIN算法。这个算法很简单，而且效果很好。我想将这段代码改编成Python。问题的核心是使用

scipy.optimize.fmin

，它不会以任何类似于Matlab的

fminsearch

的方式最小化均方偏差（MSD）。后者的结果是很好的最小化，而前者则不是

我已经用Python一行一行地阅读了我的改编代码，以及原始的Matlab。我检查了每个矩阵和每个输出。我用它来确定临界点在

fmin

中。我还尝试了

scipy.optimize.minimize

和其他最小化算法，但没有一个能给出一点令人满意的结果

我已经为Python和Matlab制作了两个MWE，以使其对所有人都具有可复制性。示例数据来自matlab函数的文档。如果这是一段很长的代码，我很抱歉，但我真的不知道如何在不牺牲可读性和清晰性的情况下缩短它。我试着让线条尽可能地吻合。我正在Windows8.1上使用Python 3.7.3、ScipyV1.3.0、Numpy1.16.2、MatlabR2018B。这是一个相对较新的Anaconda安装（约束条件中的0）： g=np.abs（g） g0=g 打印（'新猜测'，g） 打印（'g'的最终msd'，msdfit） #形象化的适合 plt.plot（s，g，label='初始近似'） plt.plot（np.logspace（-3,6,11），np.array（[0,0,10.1625,25.1974,21.8711,1.6377,7.3895,8.736,1.4256,0,0]），label='Distribution to match'） plt.xscale（'log'） plt.legend（） plt.show（） Matlab：

%目标：匹配此分发
g0=[0 0 10.1625 25.1974 21.8711 1.6377 7.3895 8.736 1.4256 0]；
s0=对数空间（-3,6，长度（g0））；
t=linspace（0.01500100）'；
[sM，tM]=meshgrid（s0，t）；
A=exp（-tM./sM）；
rng（1）；
%使用一些随机噪声从初始分布创建数据。
数据=A*g0+0.07*rand（尺寸（t））；
%参数和功能启动
alpha=1e-2；%正则化参数
s=日志空间（-3,6,20）；%x ILT
g0=个（大小）；%ILT y的初始猜测值
y=数据；%含噪数据
options=optimset（'MaxFunEvals'，1e8，'MaxIter'，1e8）；%fminsearch的约束
约束={'g>0'，'zero_at_the_extrements'}；%MSD约束
R=零（长度（g0）-2，长度（g0））；
w=个数（y（：））；
[sM，tM]=网格网格（s，t）；
A=exp（-tM./sM）；
g0=g0*sum（y）/sum（A*g0）；%对分布进行“更好的猜测”
disp（'输入数据的msd:'）
显示（msd（g0、y、A、alpha、R、w、约束））
对于k=1:5
[g，msdfit]=fminsearch（@msd，g0，options，y，A，alpha，R，w，约束）；
if ismember（“极端情况下为零”，约束）
g（1）=0；
g（end）=0；
结束
如果ismember（'g>0'，约束）
g=abs（g）；
结束
g0=g；
结束
disp（“新猜测”）
显示（g）
disp（‘g’的最终msd’）
显示（msdfit）
%形象化的适合
半对数X（s，g）
等等
半对数x（对数空间（-3,6,11），[0 0 10.1625 25.1974 21.8711 1.6377 7.3895 8.736 1.4256 0]）
图例（‘一次近似’、‘匹配分布’）
拖延
函数out=msd（g，y，A，alpha，R，w，约束）
%msd：均方偏差；这是函数
%这必须通过fminsearch最小化
%约束和任何“先验”知识
if ismember（“极端情况下为零”，约束）
g（1）=0；
g（end）=0；
结束
如果ismember（'g>0'，约束）
g=abs（g）；%对于每个i必须是g（i）>=0
结束
r=diff（diff（g（1:end））；%g的二阶导数
yfit=A*g；
%加权平方残差和
VAR=总和（w.*（y-yfit）。^2）；
%正则化子
REG=α^2*和（（r-r*g）。^2）；
%要最小化的输出
out=VAR+REG；
结束

下面是Python中的优化

下面是Matlab中的优化

我在开始之前检查了g0的MSD输出，两者都给出了2651的值。最小化后，Python上升到4547，Matlab下降到0.1381

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我认为问题是以下之一。这是在我的实现中，也就是说，我使用了

fmin

错误，或者我有一些其他的段落出错了，但我不知道是什么。事实上，MSD增加了，而它本应使用最小化函数来减少，这是一个糟糕的事实。阅读文档，scipy实现是不同的与Matlab不同（他们使用Lagarias中描述的Nelder-Mead方法），而scipy使用原始Nelder-Mead）。也许这影响很大？或者也许我最初的猜测对scipy的算法来说太糟糕了？

所以，我发布这篇文章已经有很长时间了，但我想分享我最后学到的东西和做的事情

CPMG数据的拉普拉斯逆变换有点用词不当，更恰当地称之为反演。一般问题是求解第一类Fredholm积分。一种方法是Tikhonov正则化方法。事实证明，你可以很容易地用numpy描述这个问题，并用一个scipy包解决它，所以我不必用这个“重新发明”轮子

我使用了所示的解决方案，这里的名称反映了该解决方案

def tikhonov_regularized_inversion(
    kernel: np.ndarray, alpha: float, data: np.ndarray
) -> np.ndarray:
    data = data.reshape(-1, 1)
    I = alpha * np.eye(*kernel.shape)
    C = np.concatenate([kernel, I], axis=0)
    d = np.concatenate([data, np.zeros_like(data)])
    x, _ = nnls(C, d.flatten())

这里，

kernel

是一个包含所有可能的指数衰减曲线的矩阵，我的解决方案判断我收到的数据中每个衰减曲线的贡献。首先，我将数据堆叠为一列，然后用零填充，创建向量

d

。然后，我将内核堆叠在一个对角线矩阵上，该矩阵包含正则化参数

alpha

，沿着对角线，大小与内核相同。最后，我调用方便的

nnls

，它是

scipy.optimize

中的一个非负最小二乘解算器。这是因为没有理由有负面贡献，只有没有贡献

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这解决了我的问题，它既快捷又方便。

所以，我发布这篇文章已经有很长时间了，但我想分享我最终学到的东西和做的事情

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