python：查找集合的所有拉丁方（或列数较少的部分方）

编辑：
多亏了评论员道格拉斯·扎尔，我用更合适的术语重新命名了这篇文章的标题，以供其他可能正在寻找类似内容的人使用。下面来自David Eisenstat的代码非常有用

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原始帖子：
我很抱歉没有合适的集合论术语。。。但我在这里有点不知所措（尽管我怀疑这是一个容易的问题）。我正在尝试开发一种算法，该算法将接受一个集合和一个数字K，并返回所有可能的具有K大小子集且集合覆盖率=K的“完整”分区，这样：

任何给定子集都不会有重复项

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在所有子集上组合第n个项将给出集合的完整分区

所有子集的第n项在其余子集中是唯一的

例如：

function({A, B, C, D}, 2)

应该像这样返回所有可能的集合：

[AB, BC, CD, DA]
[AB, BD, CA, DC]
[AC, BD, CA, DB]
[AD, DA, CB, BC]
[BC, CA, DB, AD]
...

还有，为了它的价值

单个子集中元素的顺序无关紧要（只要遵守其他三条规则即可）

因此，以下是等效的：

[AB, BA, CD, DC] = [BA, AB, DC, CD] = [AB, BA, DC, CD] = [BA, AB, CD, DC]

及

不同子集的顺序很重要：

因此，以下是不同的：

[BC, CA, DB, AD] ≠ [CA, BC, AD, DB]

换句话说，在矩阵术语中：我要查找所有具有

rows=len（set）

和

columns=K

的矩阵，这样每一列都有确切的覆盖范围，并且任何一行中没有项目出现一次以上

function({A, B, C, D}, 3)

将返回所有矩阵，如下所示

ABC      ADB    
BCD      DCA    
CDA      CBD    
DAB      BAC 

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我希望能在python中找到答案，使用numpy之类的库也不错……但也希望能有一个通用的算法策略。我认为类似的东西可能会派上用场……但我无法从这一点跨越到这里概述的问题……

回溯搜索是可行的。python 3:

import itertools
import operator


def valid(cols_so_far):
    for i, col1 in enumerate(cols_so_far):
        for col2 in cols_so_far[i + 1:]:
            if any(map(operator.eq, col1, col2)):
                return False
    return True


def enum(letters, k, cols_so_far=None):
    if cols_so_far is None:
        cols_so_far = (tuple(letters),)
    if not valid(cols_so_far):
        pass
    elif len(cols_so_far) == k:
        yield tuple(zip(*cols_so_far))  # transpose
    else:
        for perm in itertools.permutations(letters):
            yield from enum(letters, k, cols_so_far + (perm,))

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将所有子集中的第n个项组合起来，就可以对“和”进行完整的划分，单个子集中元素的顺序无关紧要（只要遵守其他三条规则）相互矛盾。如果子集元素的顺序无关紧要，那么谈论子集的第n项意味着什么？对不起……也许我的措辞很奇怪。任何给定子集中元素的顺序只与其他子集相关。因此

[AB，BA，CD，DC]=[BA，AB，DC，CD]

（因为每个列表的第n个元素有相同的两个项目）但是

[AB，BA，CD，DC]≠ [DC、AB、BA、CD]

（即使相同的四个组合出现，只是顺序不同）……这有意义吗？也许最后的矩阵示例可以最好地解释一下……“设置”、“设置分区”和“分区”已经有了意义。你应该试着说出你的意思，不要以不寻常的方式使用这些术语。你有一个二维数组，或者一个矩阵，它对行和列有一些条件。我想你有的是部分拉丁方的一些行数。谢谢道格拉斯！我知道我没有完全使用适当的术语a我说。拉丁方这个词正是我想要的……如果我能创建一组中所有可能的拉丁方，我想我可以根据我在这里列出的需要将它们裁剪成部分拉丁方。（值得一提的是，我永远不会有一组大于8项的东西……通常小于6项）我将开始沿着这些路线搜索。如果有人有算法可以建议，请随意…谢谢你，大卫！这太棒了。今晚我需要一些时间来深入研究这一点，但我真的很欣赏作为起点的代码。