伊辛模型[Python]

我试图在Barabasi-Albert网络中模拟伊辛相变，并试图复制一些观测结果，如磁化和能量，就像伊辛网格模拟中观察到的那样。然而，我在解释我的结果时遇到了困难：不确定是物理错误还是实现中存在错误。以下是一个最低限度的工作示例：

import numpy as np 
import networkx as nx
import random
import math

## sim params

# coupling constant
J = 1.0 # ferromagnetic

# temperature range, in units of J/kT
t0 = 1.0
tn = 10.0
nt = 10.
T = np.linspace(t0, tn, nt)

# mc steps
steps = 1000

# generate BA network, 200 nodes with preferential attachment to 3rd node
G = nx.barabasi_albert_graph(200, 3)

# convert csr matrix to adjacency matrix, a_{ij}
adj_matrix = nx.adjacency_matrix(G)
top = adj_matrix.todense()
N = len(top)

# initialize spins in the network, ferromagnetic
def init(N):
    return np.ones(N)

# calculate net magnetization
def netmag(state):
    return np.sum(state)

# calculate net energy, E = \sum J *a_{ij} *s_i *s_j
def netenergy(N, state):
    en = 0.
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            en += (-J)* top[i,j]*state[i]*state[j] 
    return en

# random sampling, metropolis local update
def montecarlo(state, N, beta, top):

    # initialize difference in energy between E_{old} and E_{new}
    delE = []

    # pick a random source node
    rsnode = np.random.randint(0,N)

    # get the spin of this node
    s2 = state[rsnode]

    # calculate energy by summing up its interaction and append to delE
    for tnode in range(N):
        s1 = state[tnode]
        delE.append(J * top[tnode, rsnode] *state[tnode]* state[rsnode])

    # calculate probability of a flip
    prob = math.exp(-np.sum(delE)*beta)

    # if this probability is greater than rand[0,1] drawn from an uniform distribution, accept it
    # else retain current state
    if prob> random.random():
        s2 *= -1
    state[rsnode] = s2

    return state

def simulate(N, top):

    # initialize arrays for observables
    magnetization = []
    energy = []
    specificheat = []
    susceptibility = []

    for count, t in enumerate(T):


        # some temporary variables
        e0 = m0 = e1 = m1 = 0.

        print 't=', t

        # initialize spin vector
        state = init(N)

        for i in range(steps):

            montecarlo(state, N, 1/t, top)

            mag = netmag(state)
            ene = netenergy(N, state)

            e0 = e0 + ene
            m0 = m0 + mag
            e1 = e0 + ene * ene
            m1 = m0 + mag * mag

        # calculate thermodynamic variables and append to initialized arrays
        energy.append(e0/( steps * N))
        magnetization.append( m0 / ( steps * N)) 
        specificheat.append( e1/steps - e0*e0/(steps*steps) /(N* t * t))
        susceptibility.append( m1/steps - m0*m0/(steps*steps) /(N* t *t))

        print energy, magnetization, specificheat, susceptibility

        plt.figure(1)
        plt.plot(T, np.abs(magnetization), '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Average Magnetization per spin')

        plt.figure(2)
        plt.plot(T, energy, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Average energy')

        plt.figure(3)
        plt.plot(T, specificheat, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Specific Heat')

        plt.figure(4)
        plt.plot(T, susceptibility, '-ko' )
        plt.xlabel('Temperature (kT)')
        plt.ylabel('Susceptibility')

simulate(N, top)

观察结果：

我试着对代码进行大量的注释，如果我忽略了什么，请询问

问题：

磁化趋势正确吗？磁化强度随温度升高而降低，但不能确定相变的临界温度

随着温度的升高，能量接近零，这似乎与伊辛网格中观察到的一致。为什么我会得到负的比热值

如何选择蒙特卡罗步骤的数量？这仅仅是基于网络节点数量的点击和试用吗

---

编辑：02.06：：反铁磁配置的模拟故障首先，因为这是一个编程站点，让我们分析一下程序。您的计算效率非常低，这使得探索更大的图形变得不切实际。在您的例子中，邻接矩阵是200x200（40000）个元素，只有大约3%的非零元素。将其转换为稠密矩阵意味着在计算

montecarlo

例程中的能量差和

netenergy

中的净能量时要进行更多的计算。以下代码在我的系统上执行速度快5倍，更大的图形预期会有更好的加速：

#将拓扑保持为稀疏矩阵
top=nx.邻接矩阵（G）
def净能量（N，状态）：
en=0。
对于范围（N）中的i：
ss=np.sum（状态[top[i].非零（）
en+=状态[i]*ss
返回-0.5*J*en

注意因子中的0.5-因为邻接矩阵是对称的，每对自旋计数两次

def montecarlo（州、N、beta、顶部）：
#选择一个随机源节点
rsnode=np.random.randint（0，N）
#获取此节点的旋转
s=状态[rsnode]
#所有相邻旋转的总和
ss=np.sum（状态[top[rsnode].nonzero（）[1]]）
#过渡能
delE=2.0*J*ss*s
#计算转移概率
prob=math.exp（-delE*beta）
#有条件地接受过渡
如果prob>random.random（）：
s=-s
状态[rsnode]=s
返回状态

请注意转换能量中的系数2.0-您的代码中缺少它

这里有一些

numpy

索引魔法

top[i]

是节点i的稀疏邻接行向量，

top[i]。nonzero（）[1]

是非零元素的列索引（

top[i]。nonzero（）[0]

是行索引，因为它是行向量，所以都等于0）<代码>状态[top[i]。非零（）[1]]因此是节点i的相邻节点的值

现在来谈谈物理学。热力学性质是错误的，因为：

e1=e0+ene*ene
m1=m0+mag*mag

应该是：

e1=e1+ene*ene
m1=m1+mag*mag

以及：

specificheat.append（e1/步骤-e0*e0/（步骤*steps）/（N*t*t））
附加（m1/步数-m0*m0/（步数*步数）/（N*t*t））

应该是：

specificheat.append（（e1/steps/N-e0*e0/（steps*steps*N*N））/（t*t））
附加（（m1/steps/N-m0*m0/（steps*steps*N*N））/t）

（您最好尽早对能量和磁化进行平均）

这使得陆地的热容和磁化率为正值。注意敏感性分母中的单个

t

既然程序（希望）是正确的，让我们谈谈物理。对于每个温度，你从一个全向上的自旋状态开始，然后让它一次演化一个自旋。显然，除非温度为零，否则该初始状态远离热平衡，因此系统将开始向与给定温度相对应的状态空间部分漂移。这一过程被称为热化，在此期间收集静态信息毫无意义。您必须始终将给定温度下的模拟分为两部分-热化和实际有效运行。需要多少次迭代才能达到平衡？很难说-使用能量的移动平均值，当它变得（相对）稳定时进行监测

其次，更新算法每次迭代只改变一次旋转，这意味着程序将非常缓慢地探索状态空间，并且需要大量迭代才能获得分区函数的良好近似值。有了200次旋转，1000次迭代就足够了

---

其余的问题真的不属于这里。

这看起来更多的是关于物理编程的问题——你可能在这方面运气更好。谢谢！我也在那个平台上添加了这个问题[.到目前为止运气不好.是的--我担心你的问题非常具体，需要很多在这个领域不太常见的专家知识，所以可能很难得到答案.祝你好运。