Python 数值微分：错误行为与预期不符

我想用差商来区分函数fx，y相对于x和y的数值

def dfdx_v2(x, y, h):
    return 0.5 * (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / h


def dfdy_v2(x, y, h):
    return 0.5 * (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / h

其中h是间隔的长度。在我的假设中，h越小，上面的实现应该越精确。然而，我注意到情况并非如此。当我绘制h=[1e-12，1e-4]的错误时，我得到以下图表：

我本以为，如果我让h为零，误差会越来越小。然而，对于非常小的h，误差显著增加。另一个有趣的观察是误差振荡非常强烈的区域。为什么会这样？我原以为，误差是一个单调递增函数，没有任何波动。有没有办法解释为什么错误会这样

下面是我用来生成上图的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x, y):
    return x * x + y * x + x * y**2 + np.exp(x) + np.sin(x) * np.cos(x) + np.sin(y)


def dfdx_v1(x, y):
    return 2 * x + y + y**2 + np.exp(x) + np.cos(x)**2 - np.sin(x)**2


def dfdy_v1(x, y):
    return x + 2 * x * y + np.cos(y)


def dfdx_v2(x, y, h):
    return 0.5 * (f(x+h, y) - f(x-h, y)) / h


def dfdy_v2(x, y, h):
    return 0.5 * (f(x, y+h) - f(x, y-h)) / h


def main():
    x = 2.1415
    y = -1.1415

    h_min = 1e-12
    h_max = 1e-4
    n_steps = 10000

    h = np.linspace(h_min, h_max, n_steps)

    error = list()

    for i in range(n_steps):
        error.append(np.sqrt((dfdx_v1(x, y) - dfdx_v2(x, y, h[i]))**2 + (dfdx_v1(x, y) - dfdx_v2(x, y, h[i]))**2))

    plt.plot(h, error, linewidth=0.2, label="Error")
    plt.yscale("log")
    plt.legend()
    plt.show()


if __name__ == "__main__":
    main()

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误差不是单调递增的事实是一个已知的数值微分问题。看

基本上，当步骤h变得太小时，由于存在数值误差，诸如fx+h、y-fx-h、y之类的表达式无法正确计算。 这是因为计算机采用有限精度算法，因此计算fx+h，y和fx-h，y误差很小。 减去两个非常接近的数字，其中fx+h，y和fx-h，y代表足够小的h，通常会给出一个由误差控制的结果。

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除以h不会修正现有的误差。

误差不是单调递增的事实是已知的数值微分问题。看

基本上，当步骤h变得太小时，由于存在数值误差，诸如fx+h、y-fx-h、y之类的表达式无法正确计算。 这是因为计算机采用有限精度算法，因此计算fx+h，y和fx-h，y误差很小。 减去两个非常接近的数字，其中fx+h，y和fx-h，y代表足够小的h，通常会给出一个由误差控制的结果。

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除以h不会纠正现有错误。

这与Python或大多数其他编程语言中浮点的精度有关。当h趋于零时，fx，y+h和fx，y-h之间的差值也趋于零时，但是，后者不会同样平滑。根据参数的精确值，差异有时会稍微大一点，有时会小一点

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由于数字较大，dfdy_v2中的误差将大于h中的误差。因此，误差的指数将更大。当h接近零时，由于f的量化和严格增加的误差，这将导致波动。

这与Python或大多数其他编程语言中浮点的精度有关。当h趋于零时，fx，y+h和fx，y-h之间的差值也趋于零时，但是，后者不会同样平滑。根据参数的精确值，差异有时会稍微大一点，有时会小一点

由于数字较大，dfdy_v2中的误差将大于h中的误差。因此，误差的指数将更大。当h接近零时，由于f的量化和严格增加的误差，这都会导致波纹