Python 关于使用NumPy计算特征向量的澄清

我正在复习一些线性代数，并正在研究Python中的一些实现。我正在解决一个关于寻找矩阵a的特征向量的问题

当我手工解决这个问题时，我得到特征值3和-3，其中3的重数为2。我的特征向量是[[1/3]，[1]，[[1]，[1]，[0]，[[-1]，[0]，[1]]

尝试在NumPy中实现：

import numpy as np
A = [[ 1, 2, -2], 
     [-2, 5, -2], 
     [-6, 6, -3]]
np.linalg.eig(A)

它给出了输出

(array([ 3., -3.,  3.]), array([[ 0.53452248, -0.30151134, -0.05332571],
                                [-0.26726124, -0.30151134, -0.73225996],
                                [-0.80178373, -0.90453403, -0.67893425]]))

特征值是我所期望的，但是特征向量让我困惑。从我所读的内容中，我了解到它们是列，它们是标准化的，即norme1=1。此外，从数值上看，它们似乎是正确的，因为它们满足Ax=lambda*x方程

此外，当我在Symphy中实现时，我得到了预期的结果

from sympy.matrices import Matrix, eye, zeros, ones, diag, GramSchmidt
A = Matrix([[ 1, 2, -2], 
            [-2, 5, -2], 
            [-6, 6, -3]])
A.eigenvects()

输出：

[(-3, 1, [Matrix([
[1/3],
[1/3],
[  1]])]), (3, 2, [Matrix([
[1],
[1],
[0]]), Matrix([
[-1],
[ 0],
[ 1]])])]

---

有谁能解释一下NumPy的不同之处以及发生了什么？它是数值求解的吗？这些不是真正的特征向量，但它们似乎在某种意义上满足一定数值精度的条件？多谢各位

这里，特征值3的几何重数为2，矩阵A-3i的秩为1，并且有无数种方法可以选择该特征空间的两个基向量特征向量

在A的情况下，numpy.linalg.eig将返回行特征向量数组，形成整个空间的一组正交基，并且在计算实践中，特征向量在每列中的排列和方向符号上是唯一的。在这里的非正常情况下，没有唯一的选择，只有将整个空间唯一划分为与每个特征值相关的子特征空间

可以考虑特征值3的输出特征向量，即返回的特征向量阵列中的零和第二列，满足满足本征值方程的任意一组基。 该实现应该是LAPACK API的底层函数的包装器。除了匹配以共轭对形式排列的特征值顺序外，对输出特征向量的唯一约束似乎是

对每个特征向量进行缩放，使欧几里德范数为1，最大分量为实数

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所以仍然有很多任意性，我不会指望某个特定的输出。

这里，特征值3的几何重数为2，矩阵a-3i的秩为1，并且有无限多的方法来选择该特征空间的两个基向量特征向量

在A的情况下，numpy.linalg.eig将返回行特征向量数组，形成整个空间的一组正交基，并且在计算实践中，特征向量在每列中的排列和方向符号上是唯一的。在这里的非正常情况下，没有唯一的选择，只有将整个空间唯一划分为与每个特征值相关的子特征空间

可以考虑特征值3的输出特征向量，即返回的特征向量阵列中的零和第二列，满足满足本征值方程的任意一组基。 该实现应该是LAPACK API的底层函数的包装器。除了匹配以共轭对形式排列的特征值顺序外，对输出特征向量的唯一约束似乎是

对每个特征向量进行缩放，使欧几里德范数为1，最大分量为实数

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所以仍然有很多任意性，我不会指望某个特定的输出。

如果x满足本征向量方程，c*x也满足任何标量c的方程。如果x满足本征向量方程，c*x也满足任何标量c的方程。@RodrigodeAzevedo，这就是这里的意思。不接受。。我想补充一些links@RodrigodeAzevedo，这是此处的意思。不接受。。关闭以添加一些链接

[(-3, 1, [Matrix([
[1/3],
[1/3],
[  1]])]), (3, 2, [Matrix([
[1],
[1],
[0]]), Matrix([
[-1],
[ 0],
[ 1]])])]