Python 给定数据集无函数形式的泰勒展开

我有（x，y）数据集，它是连续的和可微的。确切的函数形式尚不清楚。我想在某个点对图进行泰勒展开。我试过使用algopy/Adipy。问题是他们需要函数形式

我附上了algopy的示例代码

 import numpy; from numpy import sin,cos
 from algopy import UTPM

 def f(x):
     return sin(cos(x) + sin(x))

D = 100; P = 1
x = UTPM(numpy.zeros((D,P)))
x.data[0,0] = 0.3
x.data[1,0] = 1
y = f(x)
print('coefficients of y =', y.data[:,0])

其中D是多项式的阶数

我尝试使用以下方法（x1和y1是1D阵列）：

但是，插值似乎不接受UTPM返回的x数据类型

错误消息：

Traceback (most recent call last):
      File "tay.py", line 26, in <module>
        y = f(x)
      File "tay.py", line 15, in f
        temp1=f1(x)
      File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/interpolate/polyint.py", line 54, in __call__
        y = self._evaluate(x)
      File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/interpolate/interpolate.py", line 449, in _evaluate
        y_new = self._call(self, x_new)
      File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/interpolate/interpolate.py", line 441, in _call_spline
        return spleval(self._spline, x_new)
      File "/usr/lib/python2.7/dist-packages/scipy/interpolate/interpolate.py", line 919, in spleval
        res[sl] = _fitpack._bspleval(xx,xj,cvals[sl],k,deriv)
    TypeError: Cannot cast array data from dtype('O') to dtype('float64') according to the rule 'safe'

回溯（最近一次呼叫最后一次）：
文件“tay.py”，第26行，在
y=f（x）
文件“tay.py”，第15行，在f中
temp1=f1（x）
文件“/usr/lib/python2.7/dist packages/scipy/interpolate/polyint.py”，第54行，在调用中__
y=自我评估（x）
文件“/usr/lib/python2.7/dist packages/scipy/interpolate/interpolate.py”，第449行，在
y_new=self.\u调用（self，x_new）
文件“/usr/lib/python2.7/dist packages/scipy/interpolate/interpolate.py”，第441行，在调用样条曲线中
返回spleval（自._样条曲线，x_新）
spleval中的文件“/usr/lib/python2.7/dist packages/scipy/interpolate/interpolate.py”，第919行
res[sl]=“fitpack.”标准（xx，xj，cvals[sl]，k，deriv）
TypeError:无法根据规则“safe”将数组数据从dtype（'O'）强制转换为dtype（'float64'）

对离散点定义的数据集进行泰勒展开没有意义。特别是下面的介词是错误的

我有（x，y）数据集，它是连续的和可微的。确切的函数形式尚不清楚

如果将某些插值过程与数据集相关联，则只能使用连续函数，但这也将修复一般函数形式

例如，假设我们使用分段三次插值，如问题中所述。这意味着泰勒展开将有效地受到用于插值的三次多项式系数的约束（最多可以是3阶）。此外，另一个插值例程将产生不同的泰勒展开

通常，结果主要取决于插值例程，而不是数据。这是因为泰勒展开依赖于函数的局部行为，而函数不包含在（x，y）数据集中

---

相反，您可以使用某种阶次的多项式对数据进行局部拟合，这将产生采样数据的泰勒展开式。

我也在寻找同样的结果，因此我实现了以下功能：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial as f

def dxdy(x,y,order): 
    dy = y
    for k  in range(order+1):
        print(k)
        dx = (x[-1]-x[0])/len(x)
        if k == 1:
            dy = y
        elif k % 2 == 0:
            dy = (dy[1:]-dy[:-1])/dx
            x = x[:-1]       
        elif k % 2 != 0:
            dy = (dy[1:]-dy[:-1])/dx
            x = x[1:]
    return dy

def taylor(x,y,n):
    a = x[int(len(x)/2)+1]
    center = int(len(x)/2)+1o
    #plt.plot(y)
    #plt.ylim(min(y),max(y))
    for k in range(n+1):
        print(k)
        if k == 0:
            y_hat = (y[center]*((x-a)**k))/f(k)
            #plt.plot(y_hat)
        else:
            y_hat += (dxdy(x,y,k+1)[center]*((x-a)**k))/f(k)
            #plt.plot(y_hat)
        #plt.plot(y)
    return y_hat

points = 101
x = np.linspace(-3*np.pi,3*np.pi,points)
y = 1/(1+np.exp(-x))
y = np.cos(x)#*x#(x**4)
center = int(points/2)
for k in range(21):
    y_hat = taylor(x,y,k)
    plt.figure(figsize=(8,4))
    plt.ylim(min(y)*1.1,max(y)*1.1)
    plt.xlim(min(x),max(x))
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,y_hat,c='red')
    plt.legend(['cs(x)','taylor, k= '+str(k)],loc='upper right')
    plt.title('cos(x)') 
    plt.savefig('cos'+str(k)+'.png')

---

要获得泰勒展开式，您需要知道某一点的导数，并使用此处的公式：这个问题也可能有助于找到导数：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import factorial as f

def dxdy(x,y,order): 
    dy = y
    for k  in range(order+1):
        print(k)
        dx = (x[-1]-x[0])/len(x)
        if k == 1:
            dy = y
        elif k % 2 == 0:
            dy = (dy[1:]-dy[:-1])/dx
            x = x[:-1]       
        elif k % 2 != 0:
            dy = (dy[1:]-dy[:-1])/dx
            x = x[1:]
    return dy

def taylor(x,y,n):
    a = x[int(len(x)/2)+1]
    center = int(len(x)/2)+1o
    #plt.plot(y)
    #plt.ylim(min(y),max(y))
    for k in range(n+1):
        print(k)
        if k == 0:
            y_hat = (y[center]*((x-a)**k))/f(k)
            #plt.plot(y_hat)
        else:
            y_hat += (dxdy(x,y,k+1)[center]*((x-a)**k))/f(k)
            #plt.plot(y_hat)
        #plt.plot(y)
    return y_hat

points = 101
x = np.linspace(-3*np.pi,3*np.pi,points)
y = 1/(1+np.exp(-x))
y = np.cos(x)#*x#(x**4)
center = int(points/2)
for k in range(21):
    y_hat = taylor(x,y,k)
    plt.figure(figsize=(8,4))
    plt.ylim(min(y)*1.1,max(y)*1.1)
    plt.xlim(min(x),max(x))
    plt.plot(x,y)
    plt.plot(x,y_hat,c='red')
    plt.legend(['cs(x)','taylor, k= '+str(k)],loc='upper right')
    plt.title('cos(x)') 
    plt.savefig('cos'+str(k)+'.png')